Question

如圖，在⊙O中，C為

AB

的中點(diǎn)，連接AC并延長(zhǎng)至D，使CD=CA，連接DB并延長(zhǎng)DB交⊙O于E，連AE．
（1）求證：AE是⊙O的直徑；  
（2）求證：AE=DE．

Answer 1

分析：（1）首先連接CB，AB，CE，由點(diǎn)C為劣弧AB上的中點(diǎn)，可得出CB=CA，再根據(jù)CD=CA，得△ABD為直角三角形，可得出∠ABE為直角，根據(jù)90度的圓周角所對(duì)的弦為直徑，從而證出AE是⊙O的直徑；
（2）由AE是⊙O的直徑，可得EC⊥AD，又由AC=CD，即可證得AE=DE．

解答：證明：（1）連接CB，AB，CE，
∵點(diǎn)C為劣弧AB上的中點(diǎn)，
∴CB=CA，
又∵CD=CA，
∴AC=CD=BC，
∴∠ABC=∠BAC，∠DBC=∠D，
∴∠ABD=90°，
∴∠ABE=90°，
∴AE是⊙O的直徑；

（2）∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACE=90°，
即EC⊥AD，
∵AC=CD，
∴AE=DE．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓周角定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及弧與弦的關(guān)系．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．