Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點D是AC的中點，且∠A+∠CDB=90°，過點A，D作⊙O，使圓心O在AB上，⊙O與AB交于點E．
（1）求證：直線BD與⊙O相切；
（2）若AD：AE=4：5，BC=6，求⊙O的直徑．

Answer 1

（1）證明：
連接OD、DE，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO，
∵∠A+∠CDB=90°，
∴∠ADO+∠CDB=90°，
∴∠ODB=180°-90°=90°，
∴OD⊥BD，
∵OD是⊙O半徑，
∴直線BD與⊙O相切．

（2）解：∵AE是⊙O直徑，
∴∠ADE=90°=∠C，
∴BC∥DE，
∴△ADE∽△ACB，
∴=
∵D為AC中點，
∴AD=DC=AC，
∴AE=BE=AB，
DE是△ACB的中位線，
∴AE=AB，DE=BC=×6=3，
∵設(shè)AD=4a，AE=5a，在Rt△ADE中，由勾股定理得：DE=3a=3，
解得：a=1，
∴AE=5a=5，
答：⊙O的直徑是5．
分析：（1）連接OD、DE，求出∠A=∠ADO，求出∠ADO+∠CDB=90°，求出∠ODB=90°，根據(jù)切線的判定推出即可；
（2）求出∠ADE=90°=∠C，推出BC∥DE，得出E為AB中點，推出AE=AB，DE=BC=3，設(shè)AD=4a，AE=5a，由勾股定理求出DE=3a=3，求出a=1，求出AE即可．
點評：本題考查的知識點有圓周角定理、切線的判定、三角形的中位線定理，解（1）小題的關(guān)鍵是求出OD⊥BD，解（2）小題的關(guān)鍵是求出DE長，題目比較好，綜合性比較強．