(2008•呼和浩特)如圖,已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為C(1,1),直線y=kx+m的圖象與該二次函數(shù)的圖象交于A、B兩點(diǎn),其中A點(diǎn)坐標(biāo)為(,),B點(diǎn)在y軸上,直線與x軸的交點(diǎn)為F,P為線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P與A、B不重合),過P作x軸的垂線與這個(gè)二次函數(shù)的圖象交于E點(diǎn).
(1)求k,m的值及這個(gè)二次函數(shù)的解析式;
(2)設(shè)線段PE的長為h,點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x,求h與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍;
(3)D為直線AB與這個(gè)二次函數(shù)圖象對稱軸的交點(diǎn),在線段AB上是否存在點(diǎn)P,使得以點(diǎn)P、E、D為頂點(diǎn)的三角形與△BOF相似?若存在,請求出P點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

【答案】分析:(1)已知頂點(diǎn)C(1,1),設(shè)拋物線頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-1)2+1,將A代入可求拋物線解析式,從而可得B點(diǎn)坐標(biāo),已知A,B兩點(diǎn)坐標(biāo),直線y=kx+m的圖象經(jīng)過A、B兩點(diǎn),代入可求k,m的值;
(2)點(diǎn)P在直線y=x+2故P(x,x+2),點(diǎn)E在拋物線y=x2-2x+2上,故E(x,x2-2x+2),∴h=PE=h=x+2-(x-1)2-1.又P為線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P與A、B不重合),∴0<x<;
(3)在P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中,∠DPE只可能是銳角或鈍角,故直角頂點(diǎn)只有兩種對應(yīng)關(guān)系,即O對D,O對E,分兩種情況,寫成相似比,即△PDE∽△BOF,△PED∽△BOF,分別求解.
解答:解:(1)設(shè)拋物線解析式為y=a(x-1)2+1
∵A在拋物線上
=a(-1)2+1
∴a=1
∴二次函數(shù)解析式為y=(x-1)2+1(或y=x2-2x+2)
令x=0得:y=2
即B(0,2)在y=kx+m上
∴m=2
代入y=kx+2
;

(2)h=x+2-(x-1)2-1
=-x2+x(0<x<);

(3)假設(shè)存在點(diǎn)P,①當(dāng)∠PED=∠BOF=90°時(shí),由題意可得△PED∽△BOF

∴x=,
∵0<x<,
∴x=(舍去)
而x=
∴存在點(diǎn)P,其坐標(biāo)為
②當(dāng)∠PDE=∠BOF=90°時(shí),
過點(diǎn)E作EK垂直于拋物線的對稱軸,垂足為K.
由題意可得:△PDE∽△EKD,△PDE∽△BOF
∴△EKD∽△BOF


舍去
,
∴存在點(diǎn)P,其坐標(biāo)為
綜上所述存在點(diǎn)P滿足條件,其坐標(biāo)為

點(diǎn)評:本題考查了一次函數(shù)、二次函數(shù)解析式的求法,用坐標(biāo)表示線段的長,及相似條件的探求,具有較強(qiáng)的綜合性.
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(1)求k,m的值及這個(gè)二次函數(shù)的解析式;
(2)設(shè)線段PE的長為h,點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x,求h與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍;
(3)D為直線AB與這個(gè)二次函數(shù)圖象對稱軸的交點(diǎn),在線段AB上是否存在點(diǎn)P,使得以點(diǎn)P、E、D為頂點(diǎn)的三角形與△BOF相似?若存在,請求出P點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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(1)設(shè)矩形OEPF的面積為S1,試判斷S1是否與點(diǎn)P的位置有關(guān);(不必說明理由)
(2)從矩形OEPF的面積中減去其與正方形OABC重合的面積,剩余面積記為S2,寫出S2與m的函數(shù)關(guān)系,并標(biāo)明m的取值范圍.

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(1)設(shè)矩形OEPF的面積為S1,試判斷S1是否與點(diǎn)P的位置有關(guān);(不必說明理由)
(2)從矩形OEPF的面積中減去其與正方形OABC重合的面積,剩余面積記為S2,寫出S2與m的函數(shù)關(guān)系,并標(biāo)明m的取值范圍.

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