【題目】如圖所示,一次函數(shù)分別交x,y軸于A,C兩點,拋物線與經(jīng)過點A,C.

(1)求此拋物線的函數(shù)表達式;

(2)若P為拋物線上A,C兩點間的一個動點,過點P作直線,交直線AC于點Q,當點P運動到什么位置時,線段PQ的長度最大?求此最大長度,及此時P點坐標。

(3)在(2)條件下,直線軸交于N點與直線AC交于點M,當N,M,Q,D四點是平行四邊行時,直接寫出D點的坐標。

【答案】(1);(2)當時,PQ最大=, P();

(3) .

【解析】試題分析: (1)先求出A、C坐標,把A、C兩點坐標代入y=x+bx+c解方程組即可.

(2)設(shè)P(a,a+2a3),則Q(a,a3),構(gòu)建二次函數(shù),利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題.

(3)如圖2中,分兩種情形①當MN為平行四邊形的邊時,DQ=MN=2,可得D1(, ),D2().②當MN為對角線時,可得D3(,).

試題解析: (1)∵一次函數(shù)y=x3分別交x,y軸于A,C兩點,

∴A(3,0)C(0,3),把A、C兩點坐標代入y=x+bx+c

解得,

∴y=x +2x3.

(2)設(shè)P(a,a +2a3),則Q(a,a3),

PQ=a3(a +2a3)=a 3a=(a)+

∴當a=時,PQ是最大值=

此時P(,).

(3)如圖2中,

N(1,0),M(1,2),Q(,),

∴MN=2,

①當MN為平行四邊形的邊時,DQ=MN=2,

②當MN為對角線時,可得,

綜上所述,滿足條件的點D的坐標為

點睛: 本題考查二次函數(shù)、一次函數(shù)的應(yīng)用、最值問題、平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識,解題的關(guān)鍵是學(xué)會構(gòu)建二次函數(shù)解決最值問題,學(xué)會分類討論的思想思考問題,屬于中考常考題型.

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(2)若將△A1B1C繞某一點旋轉(zhuǎn)可以得到△A2B2C2,請直接寫出旋轉(zhuǎn)中心的坐標.
(3)在x軸上有一點P,使得PA+PB的值最小,請直接寫出點P的坐標.

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