Question

【題目】如圖所示，一次函數(shù)分別交x，y軸于A，C兩點(diǎn)，拋物線與經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，C.

（1）求此拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）若P為拋物線上A，C兩點(diǎn)間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線，交直線AC于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，線段PQ的長(zhǎng)度最大？求此最大長(zhǎng)度，及此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)。

（3）在（2）條件下，直線與軸交于N點(diǎn)與直線AC交于點(diǎn)M，當(dāng)N，M，Q，D四點(diǎn)是平行四邊行時(shí)，直接寫(xiě)出D點(diǎn)的坐標(biāo)。

Answer 1

【答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí)，PQ最大=， P（）；

（3） .

【解析】試題分析: （1）先求出A、C坐標(biāo)，把A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入y＝x＋bx＋c解方程組即可．

（2）設(shè)P（a，a＋2a3），則Q（a，a3），構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問(wèn)題．

（3）如圖2中，分兩種情形①當(dāng)MN為平行四邊形的邊時(shí)，DQ＝MN＝2，可得D1（， ），D2（，）．②當(dāng)MN為對(duì)角線時(shí)，可得D3（，）．

試題解析: （1）∵一次函數(shù)y＝x3分別交x，y軸于A，C兩點(diǎn)，

∴A（3，0）C（0，3），把A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入y＝x＋bx＋c

得

解得，

∴y＝x ＋2x3．

（2）設(shè)P（a，a ＋2a3），則Q（a，a3），

∴PQ＝a3（a ＋2a3）＝a 3a＝（a）＋．

∴當(dāng)a＝時(shí)，PQ是最大值＝，

此時(shí)P（，）．

（3）如圖2中，

∵N（1，0），M（1，2），Q（，），

∴MN＝2，

①當(dāng)MN為平行四邊形的邊時(shí)，DQ＝MN＝2，

∴， ．

②當(dāng)MN為對(duì)角線時(shí)，可得，

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)為 ．

點(diǎn)睛: 本題考查二次函數(shù)、一次函數(shù)的應(yīng)用、最值問(wèn)題、平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)構(gòu)建二次函數(shù)解決最值問(wèn)題，學(xué)會(huì)分類討論的思想思考問(wèn)題，屬于中考常考題型．