精英家教網(wǎng)把正方形ABCD繞著點(diǎn)A,按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到正方形AEFG,邊FG與BC交于點(diǎn)H(如圖).
(1)試問(wèn)線段HG與線段HB相等嗎?請(qǐng)先觀察猜想,然后再證明你的猜想.
(2)若正方形的邊長(zhǎng)為2cm,重疊部分(四邊形ABHG)的面積為
4
3
3
cm2,求旋轉(zhuǎn)的角度.
分析:(1)由正方形ABCD繞著點(diǎn)A,按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到正方形AEFG,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AG=AB,∠G=∠B=90°,于是Rt△AGH≌Rt△ABH,得到HG=HB;
(2)由于Rt△AGH≌Rt△ABH,則S四邊形ABHG=2S△ABH=
4
3
3
,得到S△ABH=
2
3
3
,利用三角形的面積公式可求出BH=
2
3
3
,再錄三角函數(shù)可得到∠2=30°,得到∠GAE,最后通過(guò)互余求出旋轉(zhuǎn)角∠DAG.
解答:精英家教網(wǎng)解:(1)線段HG與線段HB相等.理由如下:
連AH,如圖,
∵正方形ABCD繞著點(diǎn)A,按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到正方形AEFG,
∴AD=AG,AB=AE,
∴AG=AB,∠G=∠B=90°,
在Rt△AGH和Rt△ABH中
AH=AH
AG=AB
,
∴Rt△AGH≌Rt△ABH(HL),
∴HG=HB;

(2)由(1)得,S四邊形ABHG=2S△ABH=
4
3
3
(cm2),
∴S△ABH=
2
3
3
(cm2),
1
2
•AB•BH=
2
3
3
,
而AB=2cm,
∴BH=
2
3
3
cm,
∴tan∠2=
2
3
3
2
=
3
3
,
∴∠2=30°,
∴∠GAB=60°,
∴∠DAG=90°-60°=30°,
即旋轉(zhuǎn)的角度為30°.
點(diǎn)評(píng):本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì):旋轉(zhuǎn)前后的兩個(gè)圖形全等,對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角,對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等.也考查了正方形的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)以及特殊角的三角函數(shù)值.
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(1)線段HG與線段HB相等嗎?請(qǐng)先觀察猜想,然后再證明你的猜想;
(2)若旋轉(zhuǎn)角為30°,AB=
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,求線段HG的長(zhǎng).

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