【題目】已知,△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,D為AB的中點,若E在直線AC上任意一點,DF⊥DE,交直線BC于F點.G為EF的中點,延長CG交AB于點H.
(1)若E在邊AC上. ①試說明DE=DF;
②試說明CG=GH;
(2)若AE=3,CH=5.求邊AC的長.

【答案】
(1)解:①連接CD,

∵∠ACB=90°,D為AB的中點,AC=BC,

∴CD=AD=BD,

又∵AC=BC,

∴CD⊥AB,

∴∠EDA+∠EDC=90°,∠DCF=∠DAE=45°,

∵DF⊥DE,

∴∠EDF=∠EDC+∠CDF=90°,

∴∠ADE=∠CDF,

在△ADE和△CDF中

∴△ADE≌△CDF,

∴DE=DF.

②連接DG,

∵∠ACB=90°,G為EF的中點,

∴CG=EG=FG,

∵∠EDF=90°,G為EF的中點,

∴DG=EG=FG,

∴CG=DG,

∴∠GCD=∠CDG

又∵CD⊥AB,

∴∠CDH=90°,

∴∠GHD+∠GCD=90°,∠HDG+∠GDC=90°,

∴∠GHD=∠HDG,

∴GH=GD,

∴CG=GH.


(2)解:如圖,當E在線段AC上時,

∵CG=GH=EG=GF,

∴CH=EF=5,

∵△ADE≌△CDF,

∴AE=CF=3,

∴在Rt△ECF中,由勾股定理得: ,

∴AC=AE+EC=3+4=7;

如圖,當E在線段CA延長線時,

AC=EC﹣AE=4﹣3=1,

綜合上述AC=7或1.


【解析】(1)①連接CD,推出CD=AD,∠CDF=∠ADE,∠A=∠DCB,證△ADE≌△CDF即可;②連接DG,根據(jù)直角三角形斜邊上中線求出CG=EG=GF=DG,推出∠GCD=∠GDC,推出∠GDH=∠GHD,推出DG=GH即可;(2)求出EF=5,根據(jù)勾股定理求出EC,即可得出答案.

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