Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，點A的坐標為（﹣1，0），且OC=OB，tan∠OAC=4．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點D和點C關于拋物線的對稱軸對稱，直線AD下方的拋物線上有一點P，過點P作PH⊥AD于點H，作PM平行于y軸交直線AD于點M，交x軸于點E，求△PHM的周長的最大值．

（3）在（2）的條件下，如圖2，在直線EP的右側、x軸下方的拋物線上是否存在點N，過點N作NG⊥x軸交x軸于點G，使得以點E、N、G為頂點的三角形與△AOC相似？如果存在，請直接寫出點G的坐標：如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣3x﹣4（2）4+4（3）存在

【解析】

（1）先由銳角三角函數的定義求得C的坐標，從而得到點B的坐標，設拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-4），將點C的坐標代入求解即可；
（2）先求得拋物線的對稱軸，從而得到點D（3，-4），然后可求得直線AD的解析式y=-x-1，故∠BAD=45°，接下來證明△PMD為等腰直角三角形，所當PM有最大值時三角形的周長最大，設P（a，a2-3a-4），M（-a-1），則PM=-a2+2a+3，然后利用配方可求得PM的最大值，最后根據△MPH的周長=（1+）PM求解即可；
（3）設點G的坐標為（a，0），則N（a，a2﹣3a﹣4）, 若= 時，△AOC∽△EGN,

則=，求出a 的值，若=時，△AOC∽△NGE，則=4，

求出a的值，舍去不符合的即可得出答案.

（1）∵點A的坐標為（﹣1，0），

∴OA=1．

又∵tan∠OAC=4，

∴OC=4，

∴C（0，﹣4）．

∵OC=OB，

∴OB=4，

∴B（4，0）．

設拋物線的解析式為y=a（x+1）（x﹣4）

∵將x=0，y=﹣4代入得：﹣4a=﹣4，解得a=1，

∴拋物線的解析式為y=x2﹣3x﹣4．

（2）∵拋物線的對稱軸為x=﹣=，C（0，﹣4），

∵點D和點C關于拋物線的對稱軸對稱，

∴D（3，﹣4）

設直線AD的解析式為y=kx+b．

∵將A（﹣1，0）、D（3，﹣4）代入得：，

解得k=﹣1，b=﹣1，

∴直線AD的解析式y(tǒng)=﹣x﹣1．

∵直線AD的一次項系數k=﹣1，

∴∠BAD=45°．

∵PM平行于y軸，

∴∠AEP=90°，

∴∠PMH=∠AME=45°．

∴△MPH的周長=PM+MH+PH=PM+MP+PM=（1+）PM．

設P（a，a2﹣3a﹣4），則M（a，﹣a﹣1），

則PM═﹣a﹣1﹣（a2﹣3a﹣4）=﹣a2+2a+3=﹣（a﹣1）2+4．

∴當a=1時，PM有最大值，最大值為4．

∴△MPH的周長的最大值=4×（1+）=4+4；

（3）存在

點G的坐標為（，0）或（，0）．

附解題過程：設點G的坐標為（a，0），則N（a，a2﹣3a﹣4）

①如圖1，

若= 時，△AOC∽△EGN．

則=，整理得：a2+a﹣8=0．

得：a=（負值舍去）∴點G為（，0）

②如圖2，

若=時，△AOC∽△NGE．

則=4，整理得：4a2﹣11a﹣17=0．

得：a=（負值舍去）

∴點G為（，0）．

綜上所述，點G的坐標為（，0）或（，0）．