【題目】已知關(guān)于x的一元二次方程|x2﹣1|=(x﹣1)(kx﹣2):
(1)若k=3,求方程的解;
(2)若方程恰有兩個(gè)不同解,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
【答案】(1)x1=,x2=1,x3=;(2)k≤0或k=1或k≥4.
【解析】
(1)將k=3代入原方程,然后根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)把原方程化成兩個(gè)一元二次方程進(jìn)行解答;
(2)由于x=1恒為方程|x21|=(x1)(kx2)的解,當(dāng)x≠1時(shí),只需函數(shù)y=與函數(shù)y=kx2的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)就可以,畫(huà)出x≠1時(shí)函數(shù)y=,根據(jù)圖象確定直線y=kx2與函數(shù)y=圖象只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí),k的取值范圍便可.
解:(1)把k=3代入|x2﹣1|=(x﹣1)(kx﹣2)中,得|x2﹣1|=(x﹣1)(3x﹣2),
當(dāng)x2>1,即x>1或x<﹣1時(shí),原方程可化為:x2﹣1=(x﹣1)(3x﹣2),
解得,x=1(舍),或x=;
當(dāng)x2≤1,即﹣1≤x≤1時(shí),原方程可化為:1﹣x2=(x﹣1)(3x﹣2),
解得,x=1,或x=;
綜上,方程的解為x1=,x2=1,x3=;
(2)∵x=1恒為方程|x2﹣1|=(x﹣1)(kx﹣2)的解,
∴當(dāng)x≠1時(shí),方程兩邊都同時(shí)除以x﹣1得,=kx﹣2,
要使此方程只有一個(gè)解,只需函數(shù)y=與函數(shù)y=kx﹣2的圖象只有一個(gè)交點(diǎn).
∵函數(shù):,
作出函數(shù)圖象,
由圖象可知,當(dāng)k<0時(shí),直線y=kx﹣2與函數(shù)y=圖象只有一個(gè)交點(diǎn);
當(dāng)k=0時(shí),直線y=kx﹣2=﹣2與函數(shù)y圖象只有一個(gè)交點(diǎn);
當(dāng)k=1時(shí),y=kx﹣2=x﹣2與y=x+1平行,則與函數(shù)y=圖象只有一個(gè)交點(diǎn);
∵當(dāng)直線y=kx﹣2過(guò)(1,2)點(diǎn)時(shí),2=k﹣2,則k=4,
∴函數(shù)圖象可知,當(dāng)k≥4時(shí),直線y=kx﹣2與函數(shù)y=圖象也只有一個(gè)交點(diǎn),
∴要使函數(shù)圖象與y=kx﹣2圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn),則實(shí)數(shù)k的取值范圍是k≤0或k=1或k≥4.
綜上,實(shí)數(shù)k的取值范圍:k≤0或k=1或k≥4.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,將矩形ABCD繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一定角度后,BC的對(duì)應(yīng)邊B′C交CD邊于點(diǎn)G,如果當(dāng)AB′=B′G時(shí)量得AD=7,CG=4,連接BB′、CC′,那么=_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△AOC中,∠OAC=90°,AO=AC,OC=2,將△AOC放置于平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)O與坐標(biāo)原點(diǎn)重合,斜邊OC在x軸上.反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A.將△AOC沿x軸向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度,記平移后三角形的邊與反比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)為A1,A2.重復(fù)平移操作,依次記交點(diǎn)為A3,A4,A5,A6…分別過(guò)點(diǎn)A,A1,A2,A3,A4,A5…作x軸的垂線,垂足依次記為P,P1,P2,P3,P4,P5…若四邊形APP1A1的面積記為S1,四邊形A2P2P3A3的面積記為S2…,則Sn=_____.(用含n的代數(shù)式表示,n為正整數(shù))
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某數(shù)學(xué)興趣小組,利用樹(shù)影測(cè)量樹(shù)高,如圖(1),已測(cè)出樹(shù)AB的影長(zhǎng)AC為12米,并測(cè)出此時(shí)太陽(yáng)光線與地面成30°夾角.
(1)求出樹(shù)高AB;
(2)因水土流失,此時(shí)樹(shù)AB沿太陽(yáng)光線方向倒下,在傾倒過(guò)程中,樹(shù)影長(zhǎng)度發(fā)生了變化,假設(shè)太陽(yáng)光線與地面夾角保持不變.求樹(shù)的最大影長(zhǎng).(用圖(2)解答)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)A、B、C、D均在⊙O上,FB與⊙O相切于點(diǎn)B,AB與CF交于點(diǎn)G,OA⊥CF于點(diǎn)E,AC∥BF.
(1)求證:FG=FB.
(2)若tan∠F=,⊙O的半徑為4,求CD的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y=﹣x2+2tx+2.
(1)求拋物線的對(duì)稱軸(用含t的代數(shù)式表示);
(2)將點(diǎn)A(﹣1,3)向右平移5個(gè)單位長(zhǎng)度,得到點(diǎn)B.
①若拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B求t的值;
②若拋物線與線段AB恰有一個(gè)交點(diǎn),結(jié)合函數(shù)圖象直接寫(xiě)出t的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在直角坐標(biāo)系中,長(zhǎng)方形ABCD(每個(gè)內(nèi)角都是90°)的頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A(0,m),B(n,0),(m>n>0),點(diǎn)E在AD上,AE=AB,點(diǎn)F在y軸上,OF=OB,BF的延長(zhǎng)線與DA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M,EF與AB交于點(diǎn)N.
(1)試求點(diǎn)E的坐標(biāo)(用含m,n的式子表示);
(2)求證:AM=AN;
(3)若AB=CD=12cm,BC=20cm,動(dòng)點(diǎn)P從B出發(fā),以2cm/s的速度沿BC向C運(yùn)動(dòng)的同時(shí),動(dòng)點(diǎn)Q從C出發(fā),以vcm/s的速度沿CD向D運(yùn)動(dòng),是否存在這樣的v值,使得△ABP與△PQC全等?若存在,請(qǐng)求出v值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】連接著漢口集家咀的江漢三橋(晴川橋),是一座下承式鋼管混凝土系桿拱橋.它猶如一道美麗的彩虹跨越漢江,是江城武漢的一道靚麗景觀.橋的拱肋ACB視為拋物線的一部分,橋面(視為水平的)與拱肋用垂直于橋面的系桿連接,相鄰系桿之間的間距均為5米(不考慮系桿的粗細(xì)),拱肋的跨度AB為280米,距離拱肋的右端70米處的系桿EF的長(zhǎng)度為42米.以AB所在直線為x軸,拋物線的對(duì)稱軸為y軸建立如圖②所示的平面直角坐標(biāo)系.
(1)求拋物線的解析式;
(2)正中間系桿OC的長(zhǎng)度是多少米?是否存在一根系桿的長(zhǎng)度恰好是OC長(zhǎng)度的一半?請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】小明在某個(gè)斜坡上,看到對(duì)面某高樓上方有一塊宜傳“中國(guó)國(guó)際進(jìn)口博覽會(huì)”的豎直標(biāo)語(yǔ)牌.小明在點(diǎn)測(cè)得標(biāo)語(yǔ)牌頂端D處的仰角為,并且測(cè)得斜坡的坡度為(在同一條直線上),已知斜坡長(zhǎng)米,高樓高米(即米),則標(biāo)語(yǔ)牌的長(zhǎng)是( )米.(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位)(參考數(shù)據(jù):, , ,)
A.B.C.D.
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