Question

【題目】如圖1，在菱形ABCD中，AB=6 ，tan∠ABC=2，點E從點D出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿著射線DA的方向勻速運動，設運動時間為t（秒），將線段CE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)一個角α（α=∠BCD），得到對應線段CF．

（1）求證：BE=DF；
（2）當t=秒時，DF的長度有最小值，最小值等于；
（3）如圖2，連接BD、EF、BD交EC、EF于點P、Q，當t為何值時，△EPQ是直角三角形？
（4）如圖3，將線段CD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)一個角α（α=∠BCD），得到對應線段CG．在點E的運動過程中，當它的對應點F位于直線AD上方時，直接寫出點F到直線AD的距離y關(guān)于時間t的函數(shù)表達式．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵∠ECF=∠BCD，即∠BCE+∠DCE=∠DCF+∠DCE，

∴∠DCF=∠BCE，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴DC=BC，

在△DCF和△BCE中，

∵ ，

∴△DCF≌△BCE（SAS），

∴DF=BE

（2）6 +6；12
（3）

解：∵CE=CF，

∴∠CEQ＜90°，

①當∠EQP=90°時，如圖2①，

∵∠ECF=∠BCD，BC=DC，EC=FC，

∴∠CBD=∠CEF，

∵∠BPC=∠EPQ，

∴∠BCP=∠EQP=90°，

∵AB=CD=6 ，tan∠ABC=tan∠ADC=2，

∴DE=6，

∴t=6秒；

②當∠EPQ=90°時，如圖2②，

∵菱形ABCD的對角線AC⊥BD，

∴EC與AC重合，

∴DE=6 ，

∴t=6 秒

（4）

解：y= t﹣12﹣ ，

如圖3，連接GF分別交直線AD、BC于點M、N，過點F作FH⊥AD于點H，

由（1）知∠1=∠2，

又∵∠1+∠DCE=∠2+∠GCF，

∴∠DCE=∠GCF，

在△DCE和△GCF中，

∵ ，

∴△DCE≌△GCF（SAS），

∴∠3=∠4，

∵∠1=∠3，∠1=∠2，

∴∠2=∠4，

∴GF∥CD，

又∵AH∥BN，

∴四邊形CDMN是平行四邊形，

∴MN=CD=6 ，

∵∠BCD=∠DCG，

∴∠CGN=∠DCN=∠CNG，

∴CN=CG=CD=6 ，

∵tan∠ABC=tan∠CGN=2，

∴GN=12，

∴GM=6 +12，

∵GF=DE=t，

∴FM=t﹣6 ﹣12，

∵tan∠FMH=tan∠ABC=2，

∴FH= （t﹣6 ﹣12），

即y= t﹣12﹣

【解析】解：（2）如圖1，

當點E運動至點E′時，DF=BE′，此時DF最小，
在Rt△ABE′中，AB=6 ，tan∠ABC=tan∠BAE′=2，
∴設AE′=x，則BE′=2x，
∴AB= x=6 ，
則AE′=6
∴DE′=6 +6，DF=BE′=12，
所以答案是：6 +6，12；
【考點精析】利用菱形的性質(zhì)對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知菱形的四條邊都相等；菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形被兩條對角線分成四個全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對角線長的積的一半．