Question

如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2，AD=4，tanC=

4

3

，∠ADC=∠DAB=90°，P是腰BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不含點(diǎn)B、C），作PQ⊥AP交CD于點(diǎn)Q．（圖1）
（1）求BC的長(zhǎng)與梯形ABCD的面積；
（2）當(dāng)PQ=DQ時(shí)，求BP的長(zhǎng)；（圖2）
（3）設(shè)BP=x，CQ=y，試求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出定義域．

Answer 1

分析：（1）過(guò)B作BH⊥CD于H，在Rt△BHC中，根據(jù)BH（即AD）的長(zhǎng)及∠C的正切值，可求得CH的長(zhǎng)，進(jìn)而可根據(jù)勾股定理求得BC的長(zhǎng)；得到CH的長(zhǎng)，由CD=DH+CH=AB+CH即可得到CD的長(zhǎng)，根據(jù)梯形的面積公式可求出梯形ABCD的面積；
（2）當(dāng)PQ=DQ時(shí)，連接AQ，易證得△ADQ≌△APQ，則AD=AP=4；過(guò)P作PE⊥AB于E，不難得出∠C=∠PBE；可根據(jù)∠PBE的正切值，用未知數(shù)表示出BE、PE的長(zhǎng)，進(jìn)而在Rt△APE中，由勾股定理求得未知數(shù)的值，進(jìn)而可在Rt△BPE中求出BP的長(zhǎng)；
（3）過(guò)P作PF⊥D于F，由于∠APQ=90°，易證得△AEP∽△PFQ，根據(jù)得到的比例線(xiàn)段即可用x表示出QF的長(zhǎng)，進(jìn)而可在Rt△PFC中，根據(jù)∠C的正切值用x表示出CF的長(zhǎng)；由CQ=QF+CF即可得到y(tǒng)、x的函數(shù)關(guān)系式．

解答：解：（1）作BH⊥CD，垂足為H，（1分）
則四邊形ABHD為矩形；
∴BH=DA=4，DH=AB=2；（1分）
在Rt△BCH中，tanC=

4

3

，
∴CH=

BH

tanC

=3，（1分）BC=

BH2+CH2

=5；（1分）
又CD=CH+DH=5，
∴S_梯形ABCD=

1

2

(AB+CD)AD=14；（1+1=2分）

（2）連接AQ，
由DQ=PQ，可知△ADQ≌△APQ，AP=AD=4；（1分）
作PE⊥AB交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，（1分）
在Rt△BPE中，tan∠PBE=tanC=

4

3

，
令BE=3k，PE=4k．
則在Rt△APE中，AP²=AE²+PE²，（1分）
即4²=（2+3k）²+（4k）²，解得：k=

4 21 -6

25

；（1分）
∴BP=

BE2+PE2

=5k=

4 21 -6

5

；（1分）

（3）作PF⊥CD交CD于點(diǎn)F，
由∠AEF=∠EFD=∠APQ=90°，
可得：△AEP∽△PFQ；
∴

QF

PF

=

EP

AE

，即

QF

4- 4 5 x

=

4 5 x

2+ 3 5 x

，
化簡(jiǎn)得：QF=

80x-16x2

50+15x

；（1分）
又CF=

3

4

PF=3-

3

5

x，
∴y=CF+FQ=(3-

3

5

x)+

80x-16x2

50+15x

=

-5x2+19x+30

3x+10

；（1分）
定義域?yàn)椋?＜x＜5）．（1分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了梯形的性質(zhì)、相似三角形與全等三角形的判定和性質(zhì)以及解直角三角形等知識(shí)的綜合應(yīng)用能力．