Question

同學(xué)們，我們曾經(jīng)研究過n×n的正方形網(wǎng)格，得到了網(wǎng)格中正方形的總數(shù)的表達(dá)式為1²+2²+3²+…+n²．但n為100時(shí)，應(yīng)如何計(jì)算正方形的具體個(gè)數(shù)呢？下面我們就一起來探究并解決這個(gè)問題．首先，通過探究我們已經(jīng)知道0×1+1×2+2×3+…+（n-l）×n
=

1

3

n（n+l）（n-l）時(shí)，我們可以這樣做：
（1）觀察并猜想：
1²+2²=（1+0）×1+（1+1）×2=l+0×1+2+1×2=（1+2）+（0×1+1×2）
1²+2²+3²=（1+0）×1+（1+1）×2+（l+2）×3
=1+0×1+2+1×2+3+2×3
=（1+2+3）+（0×1+1×2+2×3）
1²+2²+3²+4²=（1+0）×1+（1+1）×2+（l+2）×3+

 

=1+0×1+2+1×2+3+2×3+

 

=（1+2+3+4）+（

 

）
…
（2）歸納結(jié)論：
1²+2²+3²+…+n²=（1+0）×1+（1+1）×2+（1+2）×3+…[1+（n-l）]n
=1+0×1+2+1×2+3+2×3+…+n+（n-1）×n
=（

 

）+[

 

]
=

 

+

 

=

1

6

×

 

（3 ）實(shí)踐應(yīng)用：
通過以上探究過程，我們就可以算出當(dāng)n為100時(shí)，正方形網(wǎng)格中正方形的總個(gè)數(shù)是

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)（1）所得的結(jié)論，即可寫出（1）（2）的結(jié)論；
（3）直接代入（2）的結(jié)論，計(jì)算即可．

解答：解：（1）觀察并猜想：（1+3）×4；4+3×4；0×1+1×2+2×3+3×4；

（2）歸納結(jié)論：1+2+3+…+n；0×1+1×2+2×3+…+（n-1）n；

1

2

n（n+1）；

1

3

n（n+1）（n-1）；n（n+1）（2n+1）；

（3）實(shí)踐應(yīng)用：當(dāng)n=100時(shí)，

1

6

×100×（100+1）（200+1）=338350．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了整數(shù)的計(jì)算，正確觀察已知條件，得到結(jié)論是解題的關(guān)鍵．