Question

如圖①，正方形ABCD中，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（0，10），（8，4），點(diǎn)C在第一象限．動點(diǎn)P在正方形ABCD的邊上，從點(diǎn)A出發(fā)沿A⇒B⇒C⇒D勻速運(yùn)動，同時(shí)動點(diǎn)Q以相同速度在x軸正半軸上運(yùn)動，當(dāng)P點(diǎn)到達(dá)D點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動的時(shí)間為t秒．

（1）當(dāng)P點(diǎn)在邊AB上運(yùn)動時(shí)，點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)x（長度單位）關(guān)于運(yùn)動時(shí)間t（秒）的函數(shù)圖象如圖②所示，請寫出點(diǎn)Q開始運(yùn)動時(shí)的坐標(biāo)及點(diǎn)P運(yùn)動速度；

（2）求正方形邊長及頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（3）如果點(diǎn)P、Q保持原速度不變，當(dāng)點(diǎn)P沿A⇒B⇒C⇒D勻速運(yùn)動時(shí)，OP與PQ能否相等？若能，求出所有符合條件的t的值；若不能，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）（1，0），1；（2）10，（14，12）；（3）t=或t=.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)題意，易得Q（1，0），結(jié)合P、Q得運(yùn)動方向、軌跡，分析可得答案；

（2）過點(diǎn)B作BF⊥y軸于點(diǎn)F，BE⊥x軸于點(diǎn)E，則BF=8，OF=BE=4，在Rt△AFB中，過點(diǎn)C作CG⊥x軸于點(diǎn)G，與FB的延長線交于點(diǎn)H，易得△ABF≌△BCH，進(jìn)而可得C得坐標(biāo)；

（3）過點(diǎn)P作PM⊥y軸于點(diǎn)M，PN⊥x軸于點(diǎn)N，易得△APM∽△ABF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，有，設(shè)△OPQ的面積為S，計(jì)算可得答案．

試題解析：（1）根據(jù)題意，易得Q（1，0），

點(diǎn)P運(yùn)動速度每秒鐘1個(gè)單位長度．

（2）過點(diǎn)B作BF⊥y軸于點(diǎn)F，BE⊥x軸于點(diǎn)E，則BF=8，OF=BE=4．

∴AF=10-4=6．

在Rt△AFB中，

過點(diǎn)C作CG⊥x軸于點(diǎn)G，與FB的延長線交于點(diǎn)H．

∵∠ABC=90°=∠AFB=∠BHC

∴∠ABF+∠CBH=90°，∠ABF=∠BCH，∠FAB=∠CBH

∴△ABF≌△BCH．

∴BH=AF=6，CH=BF=8．

∴AB=

∴OG=FH=8+6=14，CG=8+4=12．

∴所求C點(diǎn)的坐標(biāo)為（14，12）．

（3）當(dāng)t=或t=時(shí)，OP與PQ相等.

考點(diǎn):相似三角形的判定與性質(zhì)；二次函數(shù)的最值；全等三角形的判定與性質(zhì)．