如圖,在直角坐標(biāo)系中,已知點P的坐標(biāo)為(1,0),將線段OP按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°,將其長度伸長為OP的2倍,得到線段OP1;再將線段OP1按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°,長度伸長為OP1的2倍,得到線段OP2;如此下去,得到線段OP3,OP4,…,OPn(n為正整數(shù))
(1)求點P6的坐標(biāo);
(2)求△P5OP6的面積;
(3)我們規(guī)定:把點Pn(xn,yn)(n=0,1,2,3,…)的橫坐標(biāo)xn、縱坐標(biāo)yn都取絕對值后得到的新坐標(biāo)(|xn|,|yn|)稱之為點Pn的“絕對坐標(biāo)”.根據(jù)圖中點Pn的分布規(guī)律,請你猜想點Pn的“絕對坐標(biāo)”,并寫出來.

【答案】分析:(1)OP6旋轉(zhuǎn)了6×45°=270°,得到點P6落在y軸的負(fù)半軸,而點Pn到坐標(biāo)原點的距離始終等于前一個點到原點距離的2倍,故其坐標(biāo)為P6(0,-26);
(2)根據(jù)兩組對應(yīng)邊的比相等,且它們的夾角也相等,則這兩個三角形相似得到△POP1∽△P1OP2∽△Pn-1OPn.然后求出S△P0OP1=×1×=,再求出,利用相似三角形面積的比等于它們的相似比即可得到△P5OP6的面積;
(3)分類討論:令旋轉(zhuǎn)次數(shù)為n,①當(dāng)n=8k或n=8k+4時(其中k為自然數(shù)),點Pn落在x軸上,此時,點Pn的絕對坐標(biāo)為(2n,0);②當(dāng)n=8k+1或n=8k+3或n=8k+5或n=8k+7時(其中k為自然數(shù)),點Pn落在各象限的平分線上,此時,點Pn的絕對坐標(biāo)為(×2n,×2n);③當(dāng)n=8k+2或n=8k+6時(其中k為自然數(shù)),點Pn落在y軸上,此時,點Pn的絕對坐標(biāo)為(0,2n).
解答:解:
(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)規(guī)律,點P6落在y軸的負(fù)半軸,而點Pn到坐標(biāo)原點的距離始終等于前一個點到原點距離的2倍,故其坐標(biāo)為P6(0,-26),即P6(0,-64);

(2)由已知可得,△POP1∽△P1OP2∽△Pn-1OPn
設(shè)P1(x1,y1),則y1=2sin45°=,
=×1×=
又∵,
,


(3)由題意知,OP旋轉(zhuǎn)8次之后回到x軸正半軸,在這8次中,點Pn分別落在坐標(biāo)象限的平分線上或x軸或y軸上,但各點絕對坐標(biāo)的橫、縱坐標(biāo)均為非負(fù)數(shù),因此,點Pn的坐標(biāo)可分三類情況:令旋轉(zhuǎn)次數(shù)為n,
①當(dāng)n=8k或n=8k+4時(其中k為自然數(shù)),點Pn落在x軸上,此時,點Pn的絕對坐標(biāo)為(2n,0);
②當(dāng)n=8k+1或n=8k+3或n=8k+5或n=8k+7時(其中k為自然數(shù)),點Pn落在各象限的平分線上,此時,點Pn的絕對坐標(biāo)為(×2n,×2n),即(2n-1,2n-1);
③當(dāng)n=8k+2或n=8k+6時(其中k為自然數(shù)),點Pn落在y軸上,
此時,點Pn的絕對坐標(biāo)為(0,2n).
點評:本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì):旋轉(zhuǎn)前后的兩個圖形全等,對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角,對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等.也考查了三角形相似的判定與性質(zhì)以及各象限和坐標(biāo)軸上的點的坐標(biāo)特點.
練習(xí)冊系列答案
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18、如圖,在直角坐標(biāo)系中,已知點A(-3,0),B(0,4),對△OAB連續(xù)作旋轉(zhuǎn)變換,依次得到三角形①、②、③、④…,則三角形⑦的直角頂點的坐標(biāo)為
(24,0)

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精英家教網(wǎng)如圖,在直角坐標(biāo)系中,點P的坐標(biāo)為(3,4),將OP繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段OP′.
(1)在圖中畫出線段OP′;
(2)求P′的坐標(biāo)和
PP′
的長度.

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如圖,在直角坐標(biāo)系中,O為原點.反比例函數(shù)y=
6
x
的圖象經(jīng)過第一象限的點A,點A的縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)的
3
2
倍.
(1)求點A的坐標(biāo);
(2)如果經(jīng)過點A的一次函數(shù)圖象與x軸的負(fù)半軸交于點B,AC⊥x軸于點C,若△ABC的面積為9,求這個一次函數(shù)的解析式.
(3)點D在反比例函數(shù)y=
6
x
的圖象上,且點D在直線AC的右側(cè),作DE⊥x軸于點E,當(dāng)△ABC與△CDE相似時,求點D的坐標(biāo).

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如圖,在直角坐標(biāo)系中,△ABC的三個頂點的坐標(biāo)分別為A(-6,0),B(-4,6),C(0,2).畫出△ABC的兩個位似圖形△A1B1C1,△A2B2C2,同時滿足下列兩個條件:
(1)以原點O為位似中心;
(2)△A1B1C1,△A2B2C2與△ABC的面積比都是1:4.(作出圖形,保留痕跡,標(biāo)上相應(yīng)字母)

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如圖,在直角坐標(biāo)系中,已知點A(-4,0),B(0,3),對△OAB連續(xù)作旋轉(zhuǎn)變換,依次得到三角形(1),三角形(2),三角形(3),三角形(4),…,

(1)△AOB的面積是
6
6
;
(2)三角形(2013)的直角頂點的坐標(biāo)是
(8052,0)
(8052,0)

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