Question

（本題滿分12分）

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸的右交點(diǎn)為點(diǎn)A，與y

 

軸的交點(diǎn)為點(diǎn)B，過(guò)點(diǎn)B作x軸的平行線BC，交拋物線于點(diǎn)C，連結(jié)AC．現(xiàn)有兩動(dòng)點(diǎn)P，Q分別從O，C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以每秒4個(gè)單位的速度沿OA向終點(diǎn)A移動(dòng)，點(diǎn)Q以每秒1個(gè)單位的速度沿CB向點(diǎn)B移動(dòng)，點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q也同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，線段OC，PQ相交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE∥OA，交CA于點(diǎn)E，射線QE交x軸于點(diǎn)F．設(shè)動(dòng)點(diǎn)P，Q移動(dòng)的時(shí)間為t（單位:秒）

（1）求A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)和拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PQCA為平行四邊形?

（3）請(qǐng)說(shuō)明當(dāng)0＜t＜4.5時(shí)，△PQF的面積總為定值；

（4）當(dāng)0≤t≤4.5是否存在△PQF為等腰三角形？當(dāng)t為何值時(shí)，△PQF為等腰三角形?（直接寫(xiě)出結(jié)果）

 

Answer 1

【答案】

解：（1）由y=（x²―8x―180），令y=0，

得x²―8x―180=0，（x―18）（x＋10）=0，∴x＝18，x＝―10，

∴A（18,0）……………………………………………………………………………………1分

在y=x²―x―10，令x＝0，y=―10，即B（0，―10）．……………………………2分

∵BC∥OA，故點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為―10．

由―10 y=x²―x―10，得x＝8或x＝0 ．

即C（8，―10）且易求出頂點(diǎn)……………………………………………………3分

于是A（18，0），B（0，―10），C（8，―10）．頂點(diǎn)坐標(biāo)為……………4分

（2）若四邊形PQCA為平行四邊形，由于QC∥PA，故只要QC＝PA即可，

而PA＝18―QC＝t，故18―4t＝t，得………………………………………6分

（3）設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)t秒，則OP＝4t，QC＝t，0＜t＜4.5．說(shuō)明P在線段OA上，且不與

點(diǎn)O，A重合．

∵QC∥OP，∴△QDC∽△PDO，∴

同理QC∥AF，故即

∴AF＝4t＝OP．∴PF＝PA＋AF＝PA＋OP＝18，………………………………………7分

∵點(diǎn)Q到直線PF的距離d＝10，

∴S_△PQF＝••PF•d＝×18×10＝90．

所以△PQF的面積總為定值90．…………………………………………………………9分

（4）故當(dāng)不存在等腰三角形△PQF．……………………………………10分

當(dāng) 時(shí)，為等腰三角形．…………………………………………12分

 

【解析】略