Question

已知△ABC中，AB=20，AC=15，BC邊上的高為12，則△ABC的周長為________．

Answer 1

60或42
分析：此題分兩種情況：∠B為銳角或∠C為鈍角．△ABC的周長為AB+AC+BC，已知AB、AC的值，所以要求三角形的周長，只需求出BC的值即可．如下圖所示：作AD⊥BC于D，則AD為BC邊上的高，在Rt△ADC中，由勾股定理得：AC²=AD²+DC²，在Rt△ADB中，由勾股定理得：AB²=AD²+BD²，代入AB=20，AC=15，AD=12，可求出BD、DC的值，BC=BD+DC，將AB、BC、AC的值代入周長公式，可求出該三角形的周長．
解答：作AD⊥BC于D，則AD為BC邊上的高，AD=12．分兩種情況：
①高AD在三角形內(nèi)，如圖所示：在Rt△ADC中，由勾股定理得：
AC²=AD²+DC²，
∴DC===9，
在Rt△ADB中，由勾股定理得：
AB²=AD²+BD²，
∴BD===16，
∴BC=BD+DC=16+9=25，
所以，△ABC的周長為AB+AC+BC=20+15+25=60．
②高AD在三角形外，如圖所示：
在Rt△ADC中，由勾股定理得：
AC²=AD²+DC²
∴DC===9，
在Rt△ADB中，由勾股定理得：
AB²=AD²+BD²，
∴BD===16，
∴BC=BD-DC=16-9=7，
所以，△ABC的周長為AB+AC+BC=20+15+7=42．
故△ABC的周長為60或42．
點評：本題主要考查運用勾股定理結(jié)合三角形的周長公式求三角形周長的能力，三角形的周長等于三邊之和．