在△ABC,∠C=90°,斜邊AB=10,直角邊AC、BC的長是關(guān)于x的方程x2-mx+3m+6=0的兩個實數(shù)根.
(1)求m的值;
(2)計算sinA+sinB+sinA•sinB.
分析:(1)Rt△ABC中,AB2=AC2+BC2=(AC+BC)2-2AC×BC,再將二次方程的系數(shù)代入求得m值;
(2)將sinA+sinB+sinA•sinB用△ABC的邊表示,化為兩邊之和,兩邊之積,將二次方程的系數(shù)代入求得結(jié)果.
解答:解:(1)如圖,設(shè)AC=x
1,BC=x
2,
由題意,得
x
1+x
2=m>0,x
1x
2=3m+6>0.
在Rt△ABC中,AC
2+BC
2=100,
即x
12+x
22=100,
(x
1+x
2)
2-2x
1x
2=100.
m
2-6m-112=0.
解得m
1=14,m
2=-8(舍去).
∴m=14.
(2)sinA+sinB+sinAsinB=
++×=
+由x
1+x
2=m=14,x
1x
2=3m+6=3×14+6=48得:
+=
+=.
點評:本題考查的是根與系數(shù)的關(guān)系,即兩根之和、兩根之積與二次方程系數(shù)的關(guān)系,同學(xué)們應(yīng)靈活運用.