Question

已知y=ax²+bx+c的圖象與x軸交于A（1，0），B（4，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，2），連接AC，BC．說(shuō)明在y軸上是否存在點(diǎn)Q，當(dāng)Q在y軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)使∠AQB最大？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線與x軸的交點(diǎn)

專題：

分析：設(shè)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，y），在Rt△OAQ可得tan∠OQA=

1

y

，在Rt△OQB中可得tan∠OQB=

4

y

，從而可表示出∠AQB的正切值，再利用正切值的增減性來(lái)判斷．

解答：解：
設(shè)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，y），
∵點(diǎn)A為（1，0），B（4，0），
∴OA=1，OB=4，
在Rt△OAQ可得tan∠OQA=

1

y

，在Rt△OQB中可得tan∠OQB=

4

y

，
∴tan∠AQB=tan（∠OQB-OQA）=

tan∠OQB-tan∠OQA

1+tan∠OQBtan∠OQA

=

3 y

1+ 4 y2

=

3

y+ 4 y

當(dāng)y＞0時(shí)，y+

4

y

≥2

4

=4，當(dāng)y=

4

y

即y=2時(shí)，y+

4

y

有最小值4，則

3

y+ 4 y

≤

3

4

，
即當(dāng)y=2時(shí)，tan∠AQB有最大值，即∠AQB最大，此時(shí)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），
同理當(dāng)y＜0時(shí)，可求得y=-2，此時(shí)點(diǎn)Q坐標(biāo)為（0，-2），
綜上可知存在使∠AQB最大的點(diǎn)Q，坐標(biāo)為（0，2）或（0，-2）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查拋物線的交點(diǎn)問(wèn)題，由條件求得∠AQB的三角函數(shù)的范圍是解題的關(guān)鍵．