Question

如圖，在線段AB上取一點C，分別以AC，CB為邊向上作等邊△ADC與等邊△CEB，連接DB，AE，DB與AE交于點O，AE交CD于點M，BD交CE于點N，連接MN．求證：MN∥AB．

Answer 1

分析：先由△ACD和△BCE是等邊三角形，可知AC=DC，CE=CB，∠DCA=60°，∠ECB=60°，故可得出∠DCA+∠DCE=∠ECB+∠DCE，∠ACE=∠DCB，根據(jù)SAS定理可知△ACE≌△DCB，即可得∠CAM=∠CDN，再根據(jù)∠ACD=∠ECB=60°，A、C、B三點共線可得出∠DCN=60°，由全等三角形的判定定理可知，△ACM≌△DCN，故MC=NC，再根據(jù)∠MCN=60°可知△MCN為等邊三角形，故∠NMC=∠DCN=60°故可得出結論．

解答：證明：∵△ACD和△BCE是等邊三角形，
∴AC=DC，CE=CB，∠DCA=60°，∠ECB=60°，
∵∠DCA=∠ECB=60°，
∴∠DCA+∠DCE=∠ECB+∠DCE，∠ACE=∠DCB，
在△ACE與△DCB中，

AC=DC  ∠ACE=∠DCB  CE=CB

，
∴△ACE≌△DCB，
∴∠CAM=∠CDN，
∵∠ACD=∠ECB=60°，而A、C、B三點共線，
∴∠DCN=60°，
在△ACM與△DCN中，

∠MAC=∠NDC  AC=DC  ∠ACM=∠DCN=60°

，
∴△ACM≌△DCN（ASA），
∴MC=NC，
∵∠MCN=60°，
∴△MCN為等邊三角形，
∴∠NMC=∠DCN=60°，
∴∠NMC=∠DCA，
∴MN∥AB．

點評：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結合思想的應用．