Question

如圖（1），△ABC與△EFD為等腰直角三角形，AC與DE重合，AB=EF，∠BAC=∠DEF=90°，固定△ABC，將△EFD繞點A 順時針旋轉(zhuǎn)，當DF邊與AB邊重合時，旋轉(zhuǎn)中止．不考慮旋轉(zhuǎn)開始和結(jié)束時重合的情況，設(shè)DE、DF（或它們的延長線）分別交BC（或它的延長線）于G、H點，如圖（2）．
（1）問：始終與△AGC相似的三角形有______及______；
（2）請選擇（1）中的一組相似三角形加以證明．

Answer 1

解：（1）始終與△AGC相似的三角形有△HGA及△HAB；
故答案為：△HGA、△HAB．

（2）選擇：△AGC∽△HGA．
證明：∵∠AGB是△AGC和△AGH的外角，
∴∠AGB=∠GAC+∠ACB，∠AGB=∠GAH+∠H，
∵∠ACB=∠GAH=45°，
∴∠GAC=∠H，
∵∠AGC=∠HGA（公共角），
∴△AGC∽△HGA．

選擇：△AGC∽△HAB．
證明：∵∠AGB是△AGC和△AGH的外角，
∴∠AGB=∠GAC+∠ACB，∠AGB=∠GAH+∠H，
∵∠ACB=∠GAH=45°，
∴∠GAC=∠H，
∵∠B=∠ACG=45°，
∴△AGC∽△HAB．
分析：（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)與三角形外角的性質(zhì)，易得∠GAC=∠H，然后由公共角相等，即可得△AGC∽△HGA；由∠B=∠ACG=45°，即可得△AGC∽△HAB．
（2）由等腰直角三角形的性質(zhì)與三角形外角的性質(zhì)，即可證得結(jié)論．
點評：此題考查了相似三角形的判定以及等腰直角三角形的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．