Question

已知：如圖，點(diǎn)P是半徑為5cm的⊙O外的一點(diǎn)，OP=13cm；PT切⊙O于T點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)作⊙O的割線PAB（PB＞PA）．設(shè)PA=x，PB=y．
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并確定自變量x的取值范圍；
（2）這個(gè)函數(shù)有最大值嗎？若有，求出此時(shí)△PBT的面積；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）是否存在這樣的割線PAB，使得S_△PAT=

1

2

S_△PBT？若存在，請(qǐng)求出PA的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）連接圓心和切線，求得切線長(zhǎng)，利用切割線定理可求得y關(guān)于x的函數(shù)解析式．
（2）根據(jù)自變量的取值，求得函數(shù)的最值，進(jìn)而求得面積．
（3）利用相似三角形的面積來(lái)求得相應(yīng)的對(duì)應(yīng)邊的長(zhǎng)．

解答：解：（1）連接OT；
∵PT切⊙O于T點(diǎn)，
∴∠OTP=90°，
∵OP=13cm，OT=5cm，
∴PT=12；
∵PT為切線，
∴PT²=PA×PB，
∴xy=144，
∴y=

144

x

（8≤x≤12）．

（2）由（1）得x=8時(shí)，y最大．為18，此時(shí)TB為直徑，等于10，
∴△PBT的面積=PT×TB÷2=12×10÷2=60；

（3）∵∠TPA=∠TPA，∠PTA=∠PBT，
∴△PTA∽△PBT，
∵S_△PAT=

1

2

S_△PBT，
∴PA：PT=1：

2

，
∵PT=12，
∴PA=6

2

，
∵在自變量的取值范圍內(nèi)，
∴存在．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了勾股定理，切割線定理以及相似三角形的面積比等于相似比的平方等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用．