Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=3,AD=1,點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)，設(shè)AP=，現(xiàn)將紙片折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)P重合，得折痕EF（點(diǎn)E、F為折痕與矩形邊的交點(diǎn)），再將紙片還原。

　

（1）當(dāng)時(shí)，折痕EF的長為( )；當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，折痕EF的長為( )；

（2）請寫出使四邊形EPFD為菱形的的取值范圍，并求出當(dāng)時(shí)菱形的邊長；

（3）令，當(dāng)點(diǎn)E在AD、點(diǎn)F在BC上時(shí)，寫出與的函數(shù)關(guān)系式。當(dāng)取最大值時(shí)，判斷與是否相似？若相似，求出的值；若不相似，請說明理由。

Answer 1

（1）3　　

（2）1≤x≤3

當(dāng)x=2時(shí)，如圖1，連接DE，PF

∵EF為折痕∴DE=PE

令PE為m，則AE=2-m

在直角△ADE中　 AD²AE²＝DE²

∴1+（2-m）²=m²

解得 m=5／4

此時(shí)菱形邊長為5／4

（3）如圖2，過E作EH⊥BC，易證△EFH∽△DPA

∴FH／EH＝AP／AD　 ∴FH＝3x

∴y=EF²＝EH²+FH²＝9+9x²

當(dāng)F與點(diǎn)C重合時(shí)，如圖3，連接PF

∵PF＝DF＝3　　 ∴PB=

∴0≤x≤3-2

∴y=9+9x²的值在Y軸右側(cè)隨x增大而增大

當(dāng)x =3-2時(shí)，Ｙ有最大值

∠ＥＰＦ＝９０º

△EPA∽△ＰＢＦ

綜上所訴，當(dāng)Ｙ取最大值時(shí)，△EPA∽△ＰＢＦ，x =3-2