Question

已知直線PD垂直平分⊙O的半徑OA于點B，PD交⊙O于點C、D，PE是⊙O的切線，E為切點，連結AE，交CD于點F．
（1）若⊙O的半徑為8，求CD的長；
（2）證明：PE=PF；
（3）若PF=13，sinA=，求EF的長．

Answer 1

解：（1）連接OD，
∵直線PD垂直平分⊙O的半徑OA于點B，⊙O的半徑為8，
∴OB=OA=4，BC=BD=CD，
∴在Rt△OBD中，BD==4，
∴CD=2BD=8；

（2）∵PE是⊙O的切線，
∴∠PEO=90°，
∴∠PEF=90°-∠AEO，∠PFE=∠AFB=90°-∠A，
∵OE=OA，
∴∠A=∠AEO，
∴∠PEF=∠PFE，
∴PE=PF；

（2）過點P作PG⊥EF于點G，
∴∠PGF=∠ABF=90°，
∵∠PFG=∠AFB，
∴∠FPG=∠A，
∴FG=PF•sinA=13×=5，
∵PE=PF，
∴EF=2FG=10．
分析：（1）首先連接OD，由直線PD垂直平分⊙O的半徑OA于點B，⊙O的半徑為8，可求得OB的長，又由勾股定理，可求得BD的長，然后由垂徑定理，求得CD的長；
（2）由PE是⊙O的切線，易證得∠PEF=90°-∠AEO，∠PFE=∠AFB=90°-∠A，繼而可證得∠PEF=∠PFE，根據(jù)等角對等邊的性質，可得PE=PF；
（3）首先過點P作PG⊥EF于點G，易得∠FPG=∠A，即可得FG=PF•sinA=13×=5，又由等腰三角形的性質，求得答案．
點評：此題考查了切線的性質、等腰三角形的判定與性質、圓周角定理、垂徑定理、勾股定理以及三角函數(shù)等知識．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結合思想的應用．