如圖,拋物線y=ax2+x+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,B,C,已知A(-2,0),C(0,4),M為線段BC上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)M作y軸的平行線,交拋物線于點(diǎn)D,連接CD,BD.
(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)當(dāng)△BCD的面積最大時(shí),求點(diǎn)M的坐標(biāo)及△BCD的面積的最大值.
分析:(1)將點(diǎn)A(-2,0),C(0,4),代入拋物線解析式,可求出a、c的值,繼而得出拋物線解析式及點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)延長(zhǎng)DM交x軸于點(diǎn)E,設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x,-
1
2
x2+x+4),根據(jù)S△BCD=S梯形CDEO+S△BDE-S△BOC,可得出△BCD的面積關(guān)于x的表達(dá)式,利用配方法可求出最值,再由x的值,可得出點(diǎn)M的坐標(biāo).
解答:解:(1)將A(-2,0),C(0,4)代入拋物線解析式可得:
4a-2+c=0
c=4
,
解得:
a=-
1
2
c=4

拋物線的解析式為y=-
1
2
x2+x+4,
令y=0,則-
1
2
x2+x+4=0,
解得:x1=-2,x2=4,
故點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,0);

(2)延長(zhǎng)DM交x軸于點(diǎn)E,設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x,-
1
2
x2+x+4),

S△BCD=S梯形CDEO+S△BDE-S△BOC=
1
2
(-
1
2
x2+x+4+4)×x+
1
2
(4-x)(-
1
2
x2+x+4)-
1
2
×4×4=-x2+4x=-(x-2)2+4,
當(dāng)x=2時(shí),S△BCD取得最大,最大值為4,
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b,
將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入可得:
4k+b=0
b=4

解得:
k=-1
b=4
,
即直線BC的解析式為:y=-x+4,
當(dāng)x=2時(shí),y=2,
故點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,2).
綜上可得:點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,2),△BCD的面積的最大值為4.
點(diǎn)評(píng):本題考查了二次函數(shù)綜合題,涉及了待定系數(shù)法求拋物線解析式、梯形的面積及配方法求二次函數(shù)最值的知識(shí),難點(diǎn)在第二問(wèn),關(guān)鍵是表示出S△BCD的表達(dá)式,難度較大,注意數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用.
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8、如圖,直線y=ax+b與拋物線y=ax2+bx+c的圖象在同一坐標(biāo)系中可能是(  )

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,拋物線y1=-ax2-ax+1經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(-
1
2
,
9
8
),且與拋物線y2=ax2-ax-1相交于A,B兩點(diǎn).
(1)求a值;
(2)設(shè)y1=-ax2-ax+1與x軸分別交于M,N兩點(diǎn)(點(diǎn)M在點(diǎn)N的左邊),y2=ax2-ax-1與x軸分別交于E,F(xiàn)兩點(diǎn)(點(diǎn)E在點(diǎn)F的左邊),觀察M,N,E,F(xiàn)四點(diǎn)的坐標(biāo),寫(xiě)出一條正確的結(jié)論,并通過(guò)計(jì)算說(shuō)明;
(3)設(shè)A,B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別記為xA,xB,若在x軸上有一動(dòng)點(diǎn)Q(x,0),且xA≤x≤xB,過(guò)Q作一條垂直于x軸的直線,與兩條拋物線分別交于C,D精英家教網(wǎng)兩點(diǎn),試問(wèn)當(dāng)x為何值時(shí),線段CD有最大值,其最大值為多少?

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如圖,拋物線y=-ax2+ax+6a交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)A,交x軸正半軸于點(diǎn)B,交y軸正半軸于點(diǎn)D,精英家教網(wǎng)O為坐標(biāo)原點(diǎn),拋物線上一點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為1.
(1)求A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)求證:四邊形ABCD的等腰梯形;
(3)如果∠CAB=∠ADO,求α的值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知:如圖,拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)D,與y軸相交于點(diǎn)A,直線y=ax+3與y軸也交于點(diǎn)A,矩形ABCO的頂點(diǎn)B在精英家教網(wǎng)此拋物線上,矩形面積為12,
(1)求該拋物線的對(duì)稱軸;
(2)⊙P是經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)的一個(gè)動(dòng)圓,當(dāng)⊙P與y軸相交,且在y軸上兩交點(diǎn)的距離為4時(shí),求圓心P的坐標(biāo);
(3)若線段DO與AB交于點(diǎn)E,以點(diǎn)D、A、E為頂點(diǎn)的三角形是否有可能與以點(diǎn)D、O、A為頂點(diǎn)的三角形相似,如果有可能,請(qǐng)求出點(diǎn)D坐標(biāo)及拋物線解析式;如果不可能,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知:如圖,拋物線y=ax2+ax+c與y軸交于點(diǎn)C(0,-2),精英家教網(wǎng)與x軸交于點(diǎn)A、B,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2,0).
(1)求該拋物線的解析式;
(2)M是線段OB上一動(dòng)點(diǎn),N是線段OC上一動(dòng)點(diǎn),且ON=2OM,分別連接MC、MN.當(dāng)△MNC的面積最大時(shí),求點(diǎn)M、N的坐標(biāo);
(3)若平行于x軸的動(dòng)直線與該拋物線交于點(diǎn)P,與線段AC交于點(diǎn)F,點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-1,0).問(wèn):是否存在直線l,使得△ODF是等腰三角形?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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