Question

已知：如圖，在△ABC中，AD⊥BC，垂足為D，AD與BE相交于點(diǎn)H，且BH=AC，DH=DC．
（1）求∠ABC的度數(shù)，
（2）BE與AC有怎樣的位置關(guān)系，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）∵AD⊥BC，
∴∠BDE=∠ADC=90°，
在Rt△BDE和Rt△ADC中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△ADC（HL），
∴AD=BD，
∴∠BAD=∠ABD，
∵∠ADB=90°，
∴∠ABC=×（180°-90°）=45°．

（2）BE⊥AC，
理由是：∵Rt△BDE≌Rt△ADC，
∴∠CAD=∠HBD，
∵∠ADB=90°，
∴∠HBD+∠BHD=90°，
∵∠BHD=∠AHE，
∴∠AHE+∠CAD=90°，
∴∠AEH=180°-90°=90°，
∴BE⊥AC．
分析：（1）求出∠BDE=∠ADC=90°，根據(jù)HL證Rt△BDE≌Rt△ADC，推出AD=BD，推出∠BAD=∠ABD即可．
（2）根據(jù)Rt△BDE≌Rt△ADC得出∠CAD=∠HBD，求出∠HBD+∠BHD=90°，即可求出∠AHE+∠CAD=90°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠AEH=90°，即可得出答案．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，垂直定義，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，注意：直角三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL．全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等．