Question

三只蒼蠅沿△ABC的三邊爬行，使由這三只蒼蠅構(gòu)成的三角形的與△ABC的重心保持不變，求證：如果某只蒼蠅爬過(guò)了三角形的三條邊，那么三只蒼蠅構(gòu)成的三角形的重心與原三角形的重心重合．

Answer 1

分析：根據(jù)題意畫出圖形，若一只蒼蠅在頂點(diǎn)A，那么由三只蒼蠅構(gòu)成的三角形重心在△ADE中，其中DE：BC=2：3（P為三角形的重心），因其中有一只蒼蠅到過(guò)所有的頂點(diǎn)，則蒼蠅三角形的重心應(yīng)在這三個(gè)三角形：△ADE，△BGF，△CKH內(nèi)，這些三角形有唯一一個(gè)公共點(diǎn)P，且為三角形重心．命題得證．

解答：解：如圖所示，
∵這三只蒼蠅構(gòu)成的三角形的與△ABC的重心保持不變，
∴若一只蒼蠅在頂點(diǎn)A，則P為△ABC的內(nèi)心，
∴DE：BC=2：3（P為三角形的重心），
∵其中有一只蒼蠅到過(guò)所有的頂點(diǎn)，則蒼蠅三角形的重心應(yīng)在這三個(gè)三角形：△ADE，△BGF，△CKH內(nèi)，
∵這些三角形有唯一一個(gè)公共點(diǎn)P，且為三角形重心，
∴三只蒼蠅構(gòu)成的三角形的重心與原三角形的重心重合．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是三角形重心的性質(zhì)，根據(jù)題意畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合求解是解答此題的關(guān)鍵．