Question

已知：如圖，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，過D作DE⊥AC于點(diǎn)E．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）如果⊙O的半徑為2，sin∠B=，求BC的長．

Answer 1

（1）證明：連接OD，AD，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=DC，
∵OA=OB，
∴OD是△ABC的中位線，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切線；

（2）解：∵sin∠B=，
∴∠B=30°，
∵AB=4，
∴BD=，
∵BD=DC，
∴BC=4．
分析：（1）連接OD，AD，由AB是⊙O的直徑，可證AD⊥BC，又AB=AC，則BD=DC，所以O(shè)D是△ABC的中位線，可證OD∥AC，由DE⊥AC，得OD⊥DE，故可證DE是⊙O的切線；
（2）在Rt△ABD中，由sin∠B=，得∠B=30°，已知AB=4，解直角三角形可得BD的長，由BC=2BD求解．
點(diǎn)評：本題考查了圓的切線的判定與性質(zhì)，解直角三角形的知識．關(guān)鍵是充分運(yùn)用垂直證明切線，構(gòu)造直角三角形，解直角三角形．