精英家教網(wǎng)在直角坐標(biāo)系中,正方形OABC的兩邊OC、OA分別在x軸、y軸上,A點(diǎn)的坐標(biāo)為(0、4).
(1)將正方形OABC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°,得到正方形ODEF,邊DE交BC于G.求G點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)如圖,⊙O1與正方形ABCO四邊都相切,直線(xiàn)MQ切⊙O1于點(diǎn)P,分別交y軸、x軸、線(xiàn)段BC于點(diǎn)M、N、Q.求證:O1N平分∠MO1Q.
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(3)若H(-4、4),T為CA延長(zhǎng)線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn),過(guò)T、H、A三點(diǎn)作⊙O2,AS⊥AC交O2于F.當(dāng)T運(yùn)動(dòng)時(shí)(不包括A點(diǎn)),AT-AS是否為定值?若是,求其值;若不是,說(shuō)明理由.
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分析:(1)求出旋轉(zhuǎn)角∠AOD、∠FOC的度數(shù)為30°,進(jìn)而求出∠GOC的度數(shù),再利用三角函數(shù)求出G點(diǎn)坐標(biāo);
(2)由切線(xiàn)長(zhǎng)定理證得∠MO1Q=90°,由切線(xiàn)長(zhǎng)定理或其他方法證得∠NO1Q=45°,O1N平分∠MO1Q;
(3)在AT上取點(diǎn)V,使TV=AS,構(gòu)造出全等三角形△HTV≌△HSA,判斷出△HAV為等腰直角三角形,
求得AT-AS=AV=
2
為定值.
解答:精英家教網(wǎng)解:(1)連接OG,
∵∠AOD=∠FOC=30°,由軸對(duì)稱(chēng)可得∠DOG=∠COG=30°,
又∴OC=4,
∵CG=OC•tan∠COG=4×
3
3
=
4
3
3
,(2分)
∴G(4,
4
3
3
);(3分)

(2)∵BQ∥AM,
∴∠BQM+∠AMQ=180°,精英家教網(wǎng)
根據(jù)切線(xiàn)長(zhǎng)定理,∠O1QM+∠Q1MQ=180°×
1
2
=90°,
∴∠MO1Q=180°-90°=90°,(5分)
由切線(xiàn)長(zhǎng)定理∠NO1Q=45°,
∴O1N平分∠MO1Q.(7分)

(3)AQ-AF的值是定值為4
2
,(8分)
在AT上取點(diǎn)V,使TV=AS,即AT-AS=AV,
∵AS⊥AC,
∴∠THS=∠TAS=90°,
∵H(-4、4),A(0、4),精英家教網(wǎng)
∴AH⊥AO;
又∵∠OAC=45°,
∴∠TAH=45°,(9分)
∵∠THS=∠TAS=90°,
∴∠TSH=45°,
∴HT=HS;
又∠HTV=∠HAS,TV=AS,
∴△HTV≌△HSA,(11分)
∴△HAV為等腰直角三角形,
∴AT-AS=AV=
2
,AH=4
2
.(12分)
點(diǎn)評(píng):(1)此題不僅要熟悉旋轉(zhuǎn)角,還要知道旋轉(zhuǎn)不變性,并聯(lián)系特殊三角形用勾股定理解答;
(2)運(yùn)用切割線(xiàn)定理是解答此題的關(guān)鍵;
(3)構(gòu)造全等三角形,比作輔助線(xiàn)難度要大,但確是一種有效的解題方法.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖所示,在直角坐標(biāo)系中,正方形ABOD的邊長(zhǎng)為a,O為原點(diǎn),點(diǎn)B在x軸的負(fù)半軸上,點(diǎn)D在y軸的正半軸上,直線(xiàn)OM的解析式為y=2x,直線(xiàn)CN過(guò)x軸上的一點(diǎn)C(-
3
5
a
,0)且與OM平行,交AD于點(diǎn)E,現(xiàn)正方形以每秒為
a
10
的速度勻速沿x軸正方向右平行移動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,正方形被夾在直線(xiàn)CE和OF間的部分為S,
(1)求點(diǎn)A、B、D的坐標(biāo);
(2)求梯形ECOD的面積;
(3)0≤t<4時(shí),寫(xiě)出S與t的函數(shù)關(guān)系式.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在直角坐標(biāo)系中,正方形ABOD的邊長(zhǎng)為5,O為原點(diǎn),點(diǎn)B在x軸的負(fù)半軸上,點(diǎn)D在y軸的正半軸上,直線(xiàn)OE的解析式為y=2x,直線(xiàn)CF過(guò)x軸上一點(diǎn)C(-3,0)且與OE平行.現(xiàn)正方形以每秒
12
的速度勻速沿x軸的正方向平行移動(dòng),設(shè)精英家教網(wǎng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,正方形被夾在直線(xiàn)OE與CF間的部分的面積為S.
(1)當(dāng)0≤t<4時(shí),寫(xiě)出S與t的函數(shù)關(guān)系;
(2)當(dāng)4≤t≤5時(shí),寫(xiě)出S與t的函數(shù)關(guān)系,在這個(gè)范圍內(nèi)S有無(wú)最大值?若有,請(qǐng)求出這個(gè)最大值;若沒(méi)有,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在直角坐標(biāo)系中,O是坐標(biāo)原點(diǎn),正方形OABC的頂點(diǎn)A恰好落在雙曲線(xiàn)y=
3
x
(x>0)上,且OA與x軸正方向的夾角為30°.則正方形OABC的面積是
 

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2010•本溪一模)在直角坐標(biāo)系中,放置一個(gè)如圖的直角三角形紙片AOB,已知OA=2,∠AOB=30°,D、E兩點(diǎn)同時(shí)從原點(diǎn)O出發(fā),D點(diǎn)以每秒
3
個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿y軸正方向運(yùn)動(dòng),E點(diǎn)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿x軸正方向運(yùn)動(dòng),設(shè)D、E兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(t≠0).
(1)在點(diǎn)D、E的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,直線(xiàn)DE與線(xiàn)段OA垂直嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由;
(2)當(dāng)時(shí)間t在什么范圍時(shí),直線(xiàn)DE與線(xiàn)段OA有公共點(diǎn)?
(3)若直線(xiàn)DE與直線(xiàn)OA相交于點(diǎn)F,將△OEF沿DE向上折疊,設(shè)折疊后△OEF與△AOB重疊部分面積為S,請(qǐng)直接寫(xiě)出S與t的函數(shù)關(guān)系式,并寫(xiě)出t為何值時(shí),折疊面積最大,最大值是多少?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•恩施州)如圖所示,在直角坐標(biāo)系中放置一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD,將正方形ABCD沿x軸的正方向無(wú)滑動(dòng)的在x軸上滾動(dòng),當(dāng)點(diǎn)A離開(kāi)原點(diǎn)后第一次落在x軸上時(shí),點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)的路徑線(xiàn)與x軸圍成的面積為( 。

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同步練習(xí)冊(cè)答案