Question

一個等腰直角形三角板如圖所示放置．
（1）據(jù)圖1，請直接寫出∠OBA與∠OAB之間的數(shù)量關(guān)系．
（2）圖2，C為線段OA延長線上一動點，連BC，E為線段BC上某點，連OE且滿足∠EBO=∠EOB，當(dāng)C點運動到某一位置時，連AE且滿足∠OEA=∠OAE．試判斷此時∠BAE與∠OBE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
（3）若保持∠EBO=∠EOB不變，C點繼續(xù)向右運動，當(dāng)C運動到某一位置時∠AEO=∠AOE，此時過E作EF⊥OC于F，請直接寫出

∠AEF

∠ABE

的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等腰三角形性質(zhì)推出即可．
（2）求出∠OBA=∠OAB=45°，設(shè)∠OBE=∠BOE=x°，求出∠EOA=90°-x°，求出∠BAE=

1

2

x°，即可求出答案．
（3）設(shè)∠AEO=∠EOA=x°，求出∠ABE=∠OBE-∠OBA=45°-x°，求出∠AEF=90°-2x°，代入求出即可．

解答：解：（1）∠OBA=∠OAB，
理由是：∵△AOB是等腰直角三角形，
∴OB=OA，
∴∠OBA=∠OAB；

（2）∠BAE=

1

2

∠OBE，
證明：∵∠AOB=90°，∠OBA=∠OAB，
∴∠OBA=∠OAB=45°，
設(shè)∠OBE=∠BOE=x°，
∵∠BOA=90°，
∴∠EOA=90°-x°，
∵∠EOA+∠OEA+∠OAE=180°，
∴∠OAE=

1

2

（180°-∠EOA）=

1

2

[180°-（90°-x°）]=45°+

1

2

x°，
∵∠OAB=45°，
∴∠BAE=∠OAE-∠OAB=（45°+

1

2

x°）-45°=

1

2

x°，
即∠BAE=

1

2

∠OBE；

（3）解：設(shè)∠AEO=∠EOA=x°，
∵∠AOB=90°，
∴∠EBO=∠EOB=90°-x°，
∵∠OBA=45°，
∴∠ABE=∠OBE-∠OBA=90°-x°-45°=45°-x°，
在△OFE中，EF⊥OC，
∴∠EFO=90°，
∴∠OEF=90°-x°，
∴∠AEF=90°-x°-x°=90°-2x°，
∴

∠AEF

∠ABE

=

90°-2x°

45°-x°

=2．

點評：本題考查了等腰三角形性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，注意：三角形的內(nèi)角和等于180°．