Question

如圖，△ABC是邊長為6的等邊三角形，P是AC邊上任意一點(diǎn)（與A、C兩點(diǎn)不重合）．Q是CB延長線上一點(diǎn)，且始終滿足條件BQ=AP，過P作PE⊥AB于E，連接PQ交AB于D．
（1）如圖（1）當(dāng)∠CQP=30°時(shí)．求AP的長．
（2）如圖（2），當(dāng)P在任意位置時(shí)，求證：DE=AB．

Answer 1

解：（1）作PF∥BC交AB于點(diǎn)F，
∴∠AEF=∠ABC，∠APF=∠C．∠PFD=∠QBD，∠FPD=∠BQD．
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A=∠ABC=∠C=60°．AB=BC=AC．
∴∠AEF=60°，∠APF=60°，
∴∠AEF=∠APF=∠C=60°，
∴△AFP是等邊三角形，
∴AF=AP=PF．
∵PE⊥AB，
∴AE=EF．
∵∠CQP=30°，∠C=60°，
∴∠QPC=90°，
∴∠DPA=90°，
∴∠ADP=30°．
∴AD=2AP．
∴AD=2AF．
∵DF+AF=AD，
∴DF+AF=2AF，
∴DF=AF，
∵BQ=AP，
∴BQ=FP．
在△PFD和△QBD中
，
∴△PFD≌△QBD（ASA），
∴FD=BD．
∴BD=DF=AF=AB．
∵AB=6，
∴AF=2，
∴AP=2．
答：AP的長為2；
（2）如圖2，作PF∥BC交AB于點(diǎn)．
∴∠AEF=∠ABC，∠APF=∠C．∠PFD=∠QBD，∠FPD=∠BQD．
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A=∠ABC=∠C=60°．AB=BC=AC．
∴∠AEF=60°，∠APF=60°，
∴∠AEF=∠APF=∠C=60°，
∴△AFP是等邊三角形，
∴AF=AP=PF．
∵PE⊥AB，
∴AE=EF=AF．
∵BQ=AP，
∴BQ=FP．
在△PFD和△QBD中
，
∴△PFD≌△QBD（ASA），
∴FD=BD=BF．
∵ED=EF+DF=AF+BF，
∴ED=（AF+BF），
∴ED=AB．
分析：（1）作PF∥BC交AB于點(diǎn)F．根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)就可以求出∠QPC=∠DPA=90°，得出AB=3AP而求出結(jié)論；
（2）作PF∥BC交AB于點(diǎn)F．根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)就可以得出△PFD≌△QBD就有DF=DB，由等腰三角形的性質(zhì)就可以得出AE=EF，由EF+FD=ED就可以得出結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，平行線的性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵．