Question

矩形紙片ABCD中，AB=5，AD=4，將紙片折疊，使點(diǎn)B落在邊CD上的B′處，折痕為AE、在折痕AE上存在一點(diǎn)P到邊CD的距離與到點(diǎn)B的距離相等，則此相等距離為_(kāi)_______．

Answer 1

分析：由翻折的性質(zhì)知，BP=B′P，而要點(diǎn)P到CD的距離等于PB，則該垂線段必為PB′，故有PB′⊥CD，延長(zhǎng)AE交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，由于DF∥AB，則∠F=∠BAE=∠B′AE，所以B′F=B′A=AB=5，而B(niǎo)′P∥AD，利用平行線分線段成比例定理（或相似三角形的性質(zhì)）即可求得B′P的長(zhǎng)，由此得解．
解答：方法1：根據(jù)折疊的性質(zhì)知：BP=PB′，若點(diǎn)P到CD的距離等于PB，則此距離必與B′P相同，所以該距離必為PB′．延長(zhǎng)AE交DC的延長(zhǎng)線于F．
由題意知：AB=AB′=5，∠BAE=∠B′AE；
在Rt△AB′D中，AB′=5，AD=4，故B′D=3；
由于DF∥AB，則∠F=∠BAE，
又∵∠BAE=∠B′AE，
∴∠F=∠B′AE，
∴FB′=AB′=5；
∵PB′⊥CD，AD⊥CD，
∴PB′∥AD，
∴，即，
解得PB′=2.5；
方法2：過(guò)B′做CD的垂線交AE于P點(diǎn)，連接PB，易于說(shuō)明，P即是符合題意的．
在Rt△AB′D中，AB′=5，AD=4，故B′D=3
所以CB′=2
設(shè)BE=a，CE=4-a
又EB′=EB=a，
在Rt△ECB′中
（4-a）²+2²=a²
解得a=2.5，
連接BB′，由對(duì)稱性可知，BG=B′G，EP⊥BB′，
BE∥B′P，∴△BEG≌△B′PG，∴BE=B′P，
∴四邊形BPB′E為平行四邊形，又BE=EB′
所以四邊形BPB′E是菱形
所以PB′=BE=a=2.5
故所求距離為2.5．
故此相等的距離為2.5．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了矩形的性質(zhì)、圖形的翻折變換以及相似三角形的性質(zhì)等知識(shí)的應(yīng)用，此題的關(guān)鍵是能夠發(fā)現(xiàn)PB′就是所求的P到CD的距離．