Question

已知二次函數(shù)y=ax²（a＞0）的圖象上兩點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別是-1、2，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，如果△AOB是直角三角形，則△OAB的周長為    ．

Answer 1

【答案】分析：把A、B兩點(diǎn)橫坐標(biāo)分別代入解析式，求出縱坐標(biāo)，又因?yàn)椤鰽OB是直角三角形，可以利用勾股定理列出關(guān)于a的方程，求出a的值，便可利用勾股定理求出各邊長，進(jìn)而得出△OAB的周長．
解答：解：如圖所示：過點(diǎn)A作AD⊥x軸于D，過點(diǎn)B作BE⊥x軸于E，作AC⊥BE于C．
將x=-1、x=2分別代入解析式得，y_A=a，y_B=4a．
于是BC=4a-a=3a，AC=2-（-1）=3，
所以AB²=（3a）²+3²=9a²+9，
又因?yàn)樵赗t△ADO中，AO²=a²+1，
在Rt△BOE中，OB²=2²+（4a）²
當(dāng)∠AOB=90°時，根據(jù)勾股定理，AB²=AO²+BO²
即9a²+9=a²+1+2²+（4a）²，解得a=（負(fù)值不合題意舍去），
于是AO²=+1=，AO=，
OB²=2²+8=12，OB=2，
AB²=AO²+BO²=+12=，AB=，
△OAB的周長為AO+OB+AB=+2+=2+2，
當(dāng)∠OAB=90°時，AB²+AO²=BO²，即9a²+9+a²+1=2²+（4a）²，解得a=1，
于是OA=，OB=2，AB=3，
△OAB的周長為AO+OB+AB=4+2；
當(dāng)∠OBA=90°時，AB²=AO²-BO²，即9a²+9=a²+1-[2²+（4a）²]，無解；
∴△OAB的周長為2+2或4+2．
點(diǎn)評：解答此題的關(guān)鍵是作出輔助線，利用勾股定理建立起關(guān)于參數(shù)a的關(guān)系式，再求出各邊長，將它們相加即可求出周長．