Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．P為BC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)P出發(fā)，沿射線PC方向以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，以P為圓心，PQ長為半徑作圓．設(shè)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t s．
（1）當(dāng)t=1.2時(shí)，判斷直線AB與⊙P的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）已知⊙O為△ABC的外接圓．若⊙P與⊙O相切，求t的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知求出AB=10cm，進(jìn)而得出△PBD∽△ABC，利用相似三角形的性質(zhì)得出圓心P到直線AB的距離等于⊙P的半徑，即可得出直線AB與⊙P相切；
（2）根據(jù)BO=

1

2

AB=5cm，得出⊙P與⊙O只能內(nèi)切，進(jìn)而求出⊙P與⊙O相切時(shí)，t的值．

解答：解：（1）直線AB與⊙P相切，
如圖，過P作PD⊥AB，垂足為D，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∵AC=6cm，BC=8cm，
∴AB=10cm，
∵P為BC中點(diǎn)，
∴PB=4cm，
∵∠PDB=∠ACB=90°，
∠PBD=∠ABC，
∴△PBD∽△ABC，
∴

PD

AC

=

PB

AB

，
即

PD

6

=

4

10

，
∴PD=2.4（cm），
當(dāng)t=1.2時(shí)，PQ=2t=2.4（cm），
∴PD=PQ，即圓心P到直線AB的距離等于⊙P的半徑，
∴直線AB與⊙P相切；

（2）∵∠ACB=90°，
∴AB為△ABC的外接圓的直徑，
∴BO=

1

2

AB=5cm，
連接OP，
∵P為BC中點(diǎn)，PO為△ABC的中位線，
∴PO=

1

2

AC=3cm，
∵點(diǎn)P在⊙O內(nèi)部，
∴⊙P與⊙O只能內(nèi)切，
∴當(dāng)⊙P在⊙O內(nèi)部時(shí)：5-2t=3，
當(dāng)⊙O在⊙P內(nèi)部時(shí)2t-5=3，
∴t=1或4，
∴⊙P與⊙O相切時(shí)，t的值為1或4．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定以及直線與圓的位置關(guān)系和圓與圓的位置關(guān)系，正確判定直線與圓的位置關(guān)系是重點(diǎn)知識(shí)同學(xué)們應(yīng)重點(diǎn)復(fù)習(xí)．