Question

【題目】如圖，△ABC中，AB＝AC，以AC為直徑的⊙O與邊AB、BC分別交于點D、E．過E的直線與⊙O相切，與AC的延長線交于點G，與AB交于點F．

（1）求證：△BDE為等腰三角形；

（2）求證：GF⊥AB；

（3）若⊙O半徑為3，DF＝1，求CG的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）

【解析】（1）∵四邊形ACED是⊙O的內接四邊形，

∴∠ACB＋∠ADE＝180°．………1分

∵∠BDE＋∠ADE＝180°，∴∠BDE＝∠ACB．………2分

∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB．

∴∠B＝∠BDE，∴△BDE為等腰三角形．…………3分

（2）連結OE，∵直線FG與⊙O相切，

∴∠OEG＝90°．…………4分

∵OC＝OE，∴∠OEC＝∠ACB．

∵∠B＝∠ACB，∴∠B＝∠OEC，∴OE∥AB．……5分

∴∠AFG＝∠OEG＝90°，即GF⊥AB． …………6分

（3）設CG＝x．∵△BDE為等腰三角形，GF⊥AB，

∴BF＝DF＝1，AF＝AB－BF＝AC－BF＝5．………………7分

∵OE∥AB，∴△GOE∽△GAF，∴＝， …………8分

∴＝，解得x＝，即CG＝．