Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，BC與⊙O相切于點(diǎn)B，連接OC，交⊙O于點(diǎn)E，弦AD∥OC．
（1）求證：點(diǎn)E是弧BD的中點(diǎn)；（2）求證：CD是⊙O的切線．

Answer 1

分析：（1）連接OD．根據(jù)相等的圓心角所對的弧相等，證明∠COD=∠COB后得證；
（2）證明OD⊥CD即可．通過證明△COD≌△COB得∠ODC=∠OBC=90°得證．

解答：證明：（1）連接OD．
∵AD∥OC，
∴∠ADO=∠COD，∠A=∠COB．          （1分）
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO．                        （2分）
∴∠COD=∠COB．                               （3分）
∴弧BE=弧DE，即點(diǎn)E是弧BD的中點(diǎn)．              （4分）

（2）由（1）可知∠COD=∠COB，
在△COD和△COB中，

OD=OB ∠COD=∠COB OC=OC

，（5分）
∴△COD≌△COB，
∴∠CDO=∠CBO．               （6分）
∵BC與⊙O相切于點(diǎn)B，
∴BC⊥OB，即∠CBO=90°．                      （7分）
∴∠CDO=90°，即DC⊥OD．
∴CD是⊙O的切線．                             （8分）

點(diǎn)評：此題考查了圓的有關(guān)性質(zhì)及切線的判定方法等知識點(diǎn)．
①相等的圓心角所對的弧相等，必須在同圓或等圓中成立；
②要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．