Question

某地有一居民樓，窗戶朝南，窗戶的高度為h米，此地一年中的冬至這一天的正午時刻太陽光與地面的夾角最小為α，夏至這一天的正午時刻太陽光與地面的夾角最大為β（如圖1），小明想為自己家的窗戶設計一個直角形遮陽篷BCD，要求它既能最大限度地遮擋夏天炎熱的陽光，又能最大限度地使冬天溫暖的陽光射入室內．小明查閱了有關資料，獲得了所在地區(qū)∠α和∠β的相應數據：∠α=24°36′，∠β=73°30′，小明又量得窗戶的高AB=1.65米，若同時滿足下面兩個條件，
（1）當太陽光與地面的夾角為α時，要想使太陽光剛好全部射入室內；
（2）當太陽光與地面的夾角為β時，要想使太陽光剛好不射入室內．
請你借助下面的圖形（如圖2），幫助小明算一算，遮陽篷BCD中，BC和CD的長各是多少？（精確到0.01米）
以下數據供計算中選用sin24°36′=0.416，cos24°36′=0.909，tan24°36′=0.456，cot24°36′=2.184，sin73°30′=0.959，cos73°30′=0.284，tan73°30′=3.376，cot73°30′=0.296．

Answer 1

分析：在直角三角形△BCD和△ACD，利用相應的三角函數用CD分別表示出AC、BC長，而AC-BC=AB，由此即可求得CD長，進而求得BD長．

解答：解：在Rt△BCD中，tan∠CDB=

BC

CD

，∠CDB=∠α，
∴BC=CD•tan∠CDB=CD•tanα，
在Rt△ACD中，tan∠CDA=

AC

CD

，∠CDA=∠β，
∴AC=CD•tan∠CDA=CD•tanβ，
∵AB=AC-BC=CD•tanβ-CD•tanα=CD（tanβ-tanα），
∴CD=

AB

tanβ-tanα

=

1.65

3.376-0.456

≈0.57米，
∴BC=CD•tan∠CDB≈0.57×0.456≈0.26（米）．
答：BC的長約為0.26米，CD的長約為0.57米．

點評：在解直角三角形的題目中，應先找到和所求線段相關的線段所在的直角三角形，然后確定利用什么形式的三角函數，最后解直角三角形即可求出結果．此題還需注意太陽光線是平行的，那么∠CDB=α．