Question

已知反比例函數(shù)y=

m

2x

和一次函數(shù)y=-2x-1，其中依次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)（a，b），（a+1，b+m）兩點(diǎn)．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）如圖所示，已知點(diǎn)A在第二象限，且同時(shí)在上述兩個(gè)函數(shù)的圖象上，求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（3）利用（2）的結(jié)果，試判斷在x軸上是否存在點(diǎn)P，使△AOP為等腰三角形？若存在，把符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo)都求出來(lái)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）將（a，b），（a+1，b+m）代入一次函數(shù)解析式，可得出m的值，繼而得出反比例函數(shù)解析式；
（2）聯(lián)立兩解析式，可求出交點(diǎn)坐標(biāo)，再由A在第二象限，可得點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（3）分兩種情況討論，①OA為腰，②OA為底，分別求出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）依題意可知：

b=-2a-1 b+m=-2(a+1)-1

，
解得：m=-2．
∴反比例函數(shù)解析式為：y=-

1

x

．

（2）由

y=-2x-1 y=- 1 x

，
得

x1=-1 y1=1

，

x2= 1 2 y2=-2

，
∵A點(diǎn)在第二象限，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，1）．

（3）如圖所示：

OA=

2

，OA與x軸所夾銳角為45°．
①OA為腰時(shí)，
若OA=OP，則可得P₁（

2

，0），P₂（-

2

，0）；
若OA=AP，得P₃（-2，0）；
②OA為底時(shí)，P₄（-1，0）．
故這樣的點(diǎn)存在，共有四個(gè)，分別是P₁（

2

，0），P₂（-

2

，0），P₃（-2，0），P₄（-1，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)的綜合，解答本題的關(guān)鍵是掌握整體代入思想、數(shù)形結(jié)合思想的綜合運(yùn)用，難點(diǎn)在最后一問(wèn)，注意分類(lèi)討論，不要漏解．