Question

如圖（1），△ABC與△EFD為等腰直角三角形，AC與DE重合，AB=EF=10，∠BAC=∠DEF=90°，固定△ABC，將△EFD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)DF邊與AB邊重合時(shí)，旋轉(zhuǎn)中止，不考慮旋轉(zhuǎn)開始和結(jié)束時(shí)重合的情況，設(shè)DE、DF（或它們的延長(zhǎng)線）分別交BC（或它的延長(zhǎng)線）于G、H點(diǎn)，如圖（2），則始終有△AGC∽△HGA∽△HAB．設(shè)CG=x，BH=y．
（1）求y關(guān)于x的關(guān)系表達(dá)式（只要求根據(jù)圖（2）的情況說明理由）；
（2）問：當(dāng)x為何值時(shí)，△AGH是等腰三角形？請(qǐng)寫出你的推理過程．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，即可求得函數(shù)解析式；
（2）當(dāng)CG＜

1

2

BC時(shí)，根據(jù)三角形中大角對(duì)大邊即可證得是不可能構(gòu)成；
當(dāng)CG=

1

2

BC時(shí)，根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)即可證得；
當(dāng)CG＞

1

2

BC時(shí)，根據(jù)△AGC∽△HGA即可證得．

解答：解：（1）∵△AGC∽△HAB，
∴

CG

AB

=

AC

BH

，即

x

10

=

10

y

，
所以，y=

100

x

（2）當(dāng)CG＜

1

2

BC時(shí)，∠GAC=∠H＜∠HAC，∴AC＜CH．
∵AG＜AC，
∴AG＜GH，又AH＞AG，AH＞GH，
此時(shí)，△AGH不可能是等腰三角形；
當(dāng)CG=

1

2

BC時(shí)，G為BC的中點(diǎn)，H與C重合，△AGH是等腰三角形；
此時(shí)，GC=5

2

，即x=5

2

．
當(dāng)CG＞

1

2

BC時(shí)，由（1）可知△AGC∽△HGA．
若△AGH必是等腰三角形，存在AG=AH．
若AG=AH，則AC=CG，此時(shí)x=10．
或者AH=GH，此時(shí)x=10

2

．
綜上，當(dāng)x=10或5

2

或10

2

時(shí)，△AGH是等腰三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的判定，正確進(jìn)行討論是關(guān)鍵．