Question

已知：如下圖，△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，M是BC中點，D是AC上一點，BD⊥AM，求證：∠AMB＝∠DMC．

Answer 1

答案：
解析：

簡證：作EC⊥BC與BD的延長線交于點E． 　　∵∠ABC＝90°，BD⊥AM， 　　∴∠1＝∠2， 　　∵AB＝BC，∠ABM＝∠BCE＝90°， 　　∴△ABM≌△BCE， 　　∴∠AMB＝∠E，BM＝CE＝CM， 　　又∠3＝∠4＝45°，CD為公共邊， 　　∴△DMC≌△DEC， 　　∴∠DMC＝∠E， 　　∴∠AMB＝∠DMC． 　　分析：欲證角相等，通常通過三角形全等來實現．但圖形本身不存在含∠AMB和∠DMC的兩個全等的三角形．注意到AB＝BC及圖形的特點，補全與△ABM全等的三角形，通過全等實現由已知向未知的轉化． 　　簡評：補全三角形構造全等，巧妙打開了解題的大門，問題變得“柳暗花明”．此題的其他解法略．