Question

如圖，二次函數(shù)y=a（x²-3x-4）（其中a＞0）的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，且tan∠BAC=2．
（1）判斷△ABC的形狀，并說明理由；
（2）若以AC、BC為鄰邊作?ACBD，則D點(diǎn)關(guān)于x的對(duì)稱點(diǎn)D′是否在該函數(shù)的圖象上，為什么？
（3）在（2）的條件下過D′的直線將?ACBD的面積二等分，求這條直線的表達(dá)式．

Answer 1

解：（1）△ABC是直角三角形．
理由如下：令y=0，則a（x²-3x-4）=0，
解得x₁=-1，x₂=4，
所以，點(diǎn)A（-1，0），B（4，0），
∴OA=1，OB=4，
∵tan∠BAC=2，
∴=2，
即=2，
解得OC=2，
∵=，==，
∴=，
又∵∠AOC=∠COB=90°，
∴△AOC∽△COB，
∴∠ACO=∠CBO，
∵∠CBO+∠BCO=90°，
∴∠ACO+∠BCO=90°，
即∠ACB=90°，
∴△ABC是直角三角形；

（2）由（1）可知OC=2，
所以，點(diǎn)C（0，-2），
把點(diǎn)C坐標(biāo)代入y=a（x²-3x-4）得，-4a=-2，解得a=，
所以，二次函數(shù)解析式為y=（x²-3x-4），
∵?ACBD以AC、BC為鄰邊，
∴AB、CD互相平分，
∵點(diǎn)A（-1，0），B（4，0），（-1+4）=1.5，
∴AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1.5，0），
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，2），
∵點(diǎn)D′與點(diǎn)D關(guān)于x軸對(duì)稱，
∴點(diǎn)D′（3，-2），
當(dāng)x=3時(shí)，y=（3²-3×3-4）=-2，
所以，點(diǎn)D′在該函數(shù)的圖象；

（3）∵過平行四邊形中心的直線把平行四邊形分成面積相等的兩部分，
∴所求直線過點(diǎn)（1.5，0），（3，-2），
設(shè)直線解析式為y=kx+b，
則，
解得，
所以，直線解析式為y=-x+2．
分析：（1）令y=0，解方程求出A、B的坐標(biāo)，從而得到OA、OB的長度，再根據(jù)∠BAC的正切值求出OC的長度，然后根據(jù)兩邊對(duì)應(yīng)成比例夾角相等判定△AOC和△COB相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠ACO=∠CBO，然后求出∠ACB=90°，即可得解；
（2）根據(jù)（1）中OC的長度求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式，再根據(jù)平行四邊形的對(duì)角線互相平分，先求出AB的中點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用中點(diǎn)公式求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，根據(jù)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)求出點(diǎn)D′的坐標(biāo)，最后代入二次函數(shù)解析式進(jìn)行驗(yàn)證即可；
（3）根據(jù)過平行四邊形中心的直線把平行四邊形分成面積相等的兩部分，可知所求直線必過點(diǎn)D′與平行四邊形中心，然后利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式求解即可．
點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)的求解，相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形對(duì)角線互相平分的性質(zhì)，關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，以及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式（二次函數(shù)與直線解析式），掌握過平行四邊形中心的直線把平行四邊形分成面積相等的兩部分是解本題的關(guān)鍵．