Question

拋物線y=a（x+6）²-3與x軸相交于A，B兩點(diǎn)，與y軸相交于C點(diǎn)，D為拋物線的頂點(diǎn)，直線DE⊥x軸，垂足為E，AE²=3DE．
（1）求這個拋物線的解析式；
（2）P為直線DE上的一點(diǎn)，且△PAC是以PC為斜邊的直角三角形，求tan∠PCA的值；
（3）M為拋物線上的一動點(diǎn)，過M作直線MN⊥DM，交直線DE于N，當(dāng)M點(diǎn)在拋物線的第二象限的部分上運(yùn)動時，是否存在使點(diǎn)E三等分線段DN的情況？若存在，請求出符合條件的所有的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知的拋物線解析式，可求得頂點(diǎn)D的坐標(biāo)，即可求得DE、OE的長，根據(jù)AE2=3DE，可求出AE的值，進(jìn)而可得到點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后將其代入拋物線的解析式中，即可求得待定系數(shù)a的值，從而確定該拋物線的解析式．
（2）設(shè)出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為P（-6，a），根據(jù)勾股定理求出a的值，再求出AP、AC的值，從而得到tan∠PCA的值；
（3）此題比較復(fù)雜，需要分兩種情況考慮：
①NE=2DE，此時N（-6，6），可設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，然后分別表示出直線MN、直線MD的斜率，若兩條直線互相垂直，那么它們的斜率的積為-1，可據(jù)此得到關(guān)于M點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)的關(guān)系式，聯(lián)立拋物線的解析式即可得到點(diǎn)M的坐標(biāo)；
②2NE=DE，方法同①．

解答：解：（1）易知拋物線的頂點(diǎn)D（-6，-3），則DE=3，OE=6；
∵AE²=3DE=9，
∴AE=3，即A（-3，0）；
將A點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，
得：a（-3+6）²-3=0，
即a=

1

3

，
即拋物線的解析式為：y=

1

3

（x+6）²-3=

1

3

x²+4x+9；
（2）如圖2，連接AP．設(shè)P（-6，a），
∵A（-3，0），E（-6，0），C（0，9），
根據(jù)勾股定理，AE²+PE²+AC²=PC²，
即9+a²+9+81=6²+（a-9）²，
解得a=1，
P點(diǎn)坐標(biāo)為（-6，1），AP=

AE2+PE2

=

32+12

=

10

，
AC=

32+92

=

90

=3

10

，
∴tan∠PCA=

AP

AC

=

10

3 10

=

1

3

．

（3）設(shè)點(diǎn)M（a，b）（a＜0，b＞0），分兩種情況討論：
①當(dāng)NE=2DE時，NE=6，即N（-6，12），已知D（-6，-3），則有：
直線MN的斜率：k₁=

b-6

a+6

，直線MD的斜率：k₂=

b+3

a+6

；
由于MN⊥DM，則k₁•k₂=

(b-6)(b+3)

(a+6)2

=-1，
整理得：a²+b²+12a-3b+18=0…（△），
由拋物線的解析式得：

1

3

a²+4a+9=b，
整理得：a²+12a-3b+27=0…（□）；
（△）-（□）得：b²=9，即b=3（負(fù)值舍去），
將b=3代入（□）得：a=-6+3

2

，a=-6-3

2

，
故點(diǎn)M（-6+3

2

，3）或（-6-3

2

，3）；
②當(dāng)2NE=DE時，NE=

3

2

，即N（-6，

3

2

），已知D（-6，-3），
則有：直線MN的斜率：k₁=

b- 3 2

a+6

，直線DM的斜率：k₂=

b+3

a+6

；
由題意得：k₁•k₂=

(b- 3 2 )(b+3)

(a+6)2

=-1；
整理得：a²+b²+

3

2

b+12a+

63

2

=0，
而a²+12a-3b+27=0；兩式相減，得：2b²+9b+9=0，
解得b=-2，b=-

3

2

，（均不符合題意，舍去）；
綜上可知：存在符合條件的M點(diǎn)，且坐標(biāo)為：M（-6+3

2

，3）或（-6-3

2

，3）．

點(diǎn)評：本題考查的是二次函數(shù)的綜合題，涉及到二次函數(shù)解析式的確定、直角三角形的判定和性質(zhì)、圓周角定理、直線與圓的位置關(guān)系、互相垂直兩直線的斜率關(guān)系等重要知識，綜合性強(qiáng)，難度很大．