Question

（2012•赤峰）如圖，AB是⊙O的弦，點D是半徑OA上的動點（與點A、O不重合），過點D垂直于OA的直線交⊙O于點E、F，交AB于點C．
（1）點H在直線EF上，如果HC=HB，那么HB是⊙O的切線嗎？請說明理由；
（2）連接AE、AF，如果

AF

=

FB

，并且CF=16，F(xiàn)E=50，求AF的長．

Answer 1

分析：（1）首先連接OB，得出∠HCB=∠HBC，以及∠ACD+∠OAB=90°，∠OBA+∠HBA=90°，再根據(jù)切線的判定定理得出即可；
（2）利用相似三角形的判定得出△AFE∽△CFA，即可得出

AF

CF

=

FE

FA

，即AF²=CF•FE，求出即可．

解答：解：（1）HB是⊙O的切線，理由如下：
連接OB．
∵HC=HB，∴∠HCB=∠HBC，
又∵OB=OA，∴∠OAB=∠OBA，
∵CD⊥OA，∴∠ADC=90°，
∴∠ACD+∠OAB=90°，
∵∠ACD=∠HCB，∴∠OBA+∠HBA=90°，
∴HB⊥OB，
∴HB是⊙O的切線；
             
（2）∵

AF

=

FB

，
∴∠FAB=∠AEF，
又∵∠AFE=∠CFA，
∴△AFE∽△CFA，
∴

AF

CF

=

FE

FA

，
∴AF²=CF•FE，
∵CF=16，F(xiàn)E=50，
∴AF=

16×50

=20

2

．

點評：此題主要考查了切線的判定定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理等知識，正確利用常用輔助線連接BO得出∠OBA+∠HBA=90°是解題關(guān)鍵．