Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=10，點(diǎn)D是射線CB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，△ADE是等邊三角形，點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)EF．
（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)D在線段CB上時(shí)，
①求證：△AEF≌△ADC；
②聯(lián)結(jié)BE，設(shè)線段CD=x，線段BE=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式及定義域；
（2）當(dāng)∠DAB=15°時(shí)，求△ADE的面積．

Answer 1

（1）①證明：在Rt△ABC中，
∵∠B=30°，AB=10，
∴∠CAB=60°，AC=AB=5，
∵點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，
∴AF=AB=5，
∴AC=AF，
∵△ADE是等邊三角形，
∴AD=AE，∠EAD=60°，
∵∠CAB=∠EAD，即∠CAD+∠DAB=∠FAE+∠DAB，
∴∠CAD=∠FAE，
在△AEF和△ADC中，
，
∴△AEF≌△ADC（SAS）；
②∵△AEF≌△ADC，
∴∠AEF=∠C=90°，EF=CD=x，
又∵點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，
∴AE=BE=y，
在Rt△AEF中，勾股定理可得：y²=25+x²，
∴函數(shù)的解析式是y=，定義域是0＜x≤5；
（2）①當(dāng)點(diǎn)在線段CB上時(shí)，
由∠DAB=15°，可得∠CAD=45°，△ADC是等腰直角三角形，
∴AD²=50，
△ADE的面積為；
②當(dāng)點(diǎn)在線段CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，
由∠DAB=15°，可得∠ADB=15°，BD=BA=10，
∴在Rt△ACD中，勾股定理可得AD2=200+100，
△ADE的面積為50+75，
綜上所述，△ADE的面積為或50+75．
分析：（1）①在直角三角形ABC中，由30度所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出AC的長(zhǎng)，再由F為AB中點(diǎn)，得到AC=AF=5，確定出三角形ADE為等邊三角形，利用等式的性質(zhì)得到一對(duì)角相等，砸由AD=AE，利用SAS即可得證；
②由全等三角形對(duì)應(yīng)角相等得到∠AEF為直角，EF=CD=x，在三角形AEF中，利用勾股定理即可列出y關(guān)于x的函數(shù)解析式及定義域；
（2）分兩種情況考慮：①當(dāng)點(diǎn)在線段CB上時(shí)；②當(dāng)點(diǎn)在線段CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，分別求出三角形ADE面積即可．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理是解本題的關(guān)鍵．