Question

（2013•蘇州一模）如圖（1），已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)．作正方形DEFG，使點(diǎn)A、C分別在DG和DE上，連接AE、BG．
（1）試猜想線段BG和AE的關(guān)系（位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系），請(qǐng)直接寫出你得到的結(jié)論：
（2）將正方形DEFG繞點(diǎn)D逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一角度a后（0°＜a＜90°），如圖（2），通過觀察或測(cè)量等方法判斷（1）中的結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請(qǐng)予以證明；如果不成立，請(qǐng)說明理由：
（3）若BC=DE=m，正方形DEFG繞點(diǎn)D逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角度a（0°＜a＜360°）過程中，當(dāng)AE為最大值時(shí)，求AF的值．

Answer 1

分析：（1）首先利用等腰直角三角形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)得出DG=DE，AD=BD，進(jìn)而得出△BDG≌△ADE，即可得出答案；
（2）延長(zhǎng)EA分別交DG、BG于點(diǎn)N、M兩點(diǎn)，首先證明△BDG≌△ADE，進(jìn)而得出BG⊥AE且BG=AE；
（3）由（2）知，要使AE最大，只要將正方形繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋旋轉(zhuǎn)270°，即A，D，E在一條直線上時(shí)，AE最大，進(jìn)而求出即可．

解答：解：（1）如圖（1），
∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，
∴BD=CD=AD，
∵在△BDG和△ADE中

BD=AD ∠BDG=∠ADE DG=DE

，
∴△BDG≌△ADE（SAS），
∴BG=AE，∠DGB=∠DEA，
延長(zhǎng)EA到BG于一點(diǎn)M，
∴∠GAM=∠DAE，
∴∠GMA=∠EDA=90°，
∴線段BG和AE相等且垂直；

（2）成立，
如圖（2），延長(zhǎng)EA分別交DG、BG于點(diǎn)N、M兩點(diǎn)，
∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，
∴∠ADB=90°，且BD=AD，
∵∠BDG=∠ADB-∠ADG=90°-∠ADG=∠ADE，
∵在△BDG和△ADE中

BD=AD ∠BDG=∠ADE DG=DE

，
∴△BDG≌△ADE（SAS），
∴BG=AE，∠DEA=∠DGB，
∵∠DEA+∠DNE=90°，∠DNE=∠MNG，
∴∠MNG+∠DGM=90°，
即BG⊥AE且BG=AE；

（3）由（2）知，要使AE最大，只要將正方形繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋旋轉(zhuǎn)270°，即A，D，E在一條直線上時(shí)，AE最大；
∵正方形DEFG在繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)的過程中，E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的圖形是以點(diǎn)D為圓心，DE為半徑的圓，
∴當(dāng)正方形DEFG旋轉(zhuǎn)到G點(diǎn)位于BC的延長(zhǎng)線上（即正方形DEFG繞點(diǎn)D逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)270°）時(shí)，BG最大，如圖（3），
若BC=DE=m，則AD=

m

2

，EF=m，
在Rt△AEF中，AF²=AE²+EF²=（AD+DE）²+EF²=

13

4

m²，
∴AF=

13

2

m，即在正方形DEFG旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)AE為最大值時(shí)，AF=

13

2

m．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了正方形的性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，結(jié)合圖形得出全等圖形是解題關(guān)鍵．