Question

在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，E為AB邊上一點(diǎn)，∠BCE=15°，且AE=AD．連接DE交對角線AC于H，連接BH．下列結(jié)論正確的是　　　　　　．（填序號）

①AC⊥DE；② =；③CD=2DH；④ =．

　

　

Answer 1

　①③④　．

【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；直角梯形．

【分析】在等腰直角△ADE中，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得AH⊥ED，即AC⊥ED，判定①正確；進(jìn)而可判定③；因?yàn)椤鰿HE為直角三角形，且∠HEC=60°所以EC=2EH，因?yàn)椤螮CB=15°，所以EC≠4EB，所以不成立②錯誤；根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得CD=CE，再求出∠CED=60°，得到△CDE為等邊三角形，判定③正確；過H作HM⊥AB于M，所以HM∥BC，所以△AMH∽△ABC，利用相似三角形的性質(zhì)以及底相等的三角形面積之比等于高之比即可判定④正確．

【解答】解：∵AD∥BC，∠ABC=90°

∴∠BAD=90°，

又∵AB=BC，

∴∠BAC=45°，

∴∠CAD=∠BAD﹣∠BAC=90°﹣45°=45°，

∴∠BAC=∠CAD，

∴AH⊥ED，

即AC⊥ED，故①正確；

∵△CHE為直角三角形，且∠HEC=60°

∴EC=2EH

∵∠ECB=15°，

∴EC≠4EB，

∴EH≠2EB；故②錯誤．

∵由證①中已知，∠BAC=∠CAD，

在△ACD和△ACE中，

，

∴△ACD≌△ACE（SAS），

∴CD=CE，

∵∠BCE=15°，

∴∠BEC=90°﹣∠BCE=90°﹣15°=75°，

∴∠CED=180°﹣∠BEC﹣∠AED=180°﹣75°﹣45°=60°，

∴△CDE為等邊三角形，

∴∠DCH=30°，

∴CD=2DH，故③正確；

過H作HM⊥AB于M，

∴HM∥BC，

∴△AMH∽△ABC，

∴，

∵∠DAC=∠ADH=45°，

∴DH=AH，

∴，

∵△BEH和△CBE有公共底BE，

∴，故④正確，

故答案為：①③④．

【點(diǎn)評】此題考查了直角梯形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及等腰直角三角形性質(zhì)．此題難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．