Question

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，A（a，0），B（0，b），且a，b滿足b=

a2-4 + 4-a2 +16

a+2

（1）求直線AB的解析式；
（2）第一象限內(nèi)是否存在一點M，使△ABM是等腰直角三角形，若存在，求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）如圖2過點A的直線y=kx-2k交y軸負(fù)半軸于點P，N點的橫坐標(biāo)為-1，過點N的直線y=

k

2

x-

k

2

交AP于點M，交x軸于點C，求證：NC=MC．

Answer 1

分析：（1）由二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)可以求得a、b的值．則易求點A、B的坐標(biāo)．設(shè)直線AB的方程為y=kx+b（k≠0），將其分別代入該解析式列出關(guān)于k、b的方程組，通過解方程組即可求得它們的值；
（2）需要分類討論：當(dāng)AB為底和當(dāng)AB為腰時，分別求得點M的坐標(biāo)；
（3）將y=kx-2k與y=

k

2

x-

k

2

聯(lián)立求出M的坐標(biāo)為（3，k），由條件可求得N的坐標(biāo)為（-1，-k），C的坐標(biāo)為（1，0），作CG⊥x軸于G點，MH⊥x軸于H點，可證△NGC≌△MHC，得NC=MC．

解答：解：（1）依題意，得：

a2-4≥0 4-a2≥0 a+2≠0

，
解得a=2；
則b=4．
所以A（2，0），B（0，4），
設(shè)直線AB解析式為y=kx+b（k≠0），將A與B坐標(biāo)代入得：

2k+b=0 b=4

，
解得：

k=-2 b=4

，
則直線AB的解析式為y=-2x+4； 
                    
（2）如圖1，分三種情況：

①如圖1，當(dāng)BM⊥BA，且BM=BA時，過M作MN⊥y軸于N，
∵BM⊥BA，MN⊥y軸，OB⊥OA，
∴∠MBA=∠MNB=∠BOA=90°，
∴∠NBM+∠NMB=90°，∠ABO+∠NBM=90°，
∴∠ABO=∠NMB，
在△BMN和△ABO中

∠MNB=∠BOA ∠NMB=∠ABO BM=AB

，
∴△BMN≌△ABO（AAS），
MN=OB=4，BN=OA=2，
∴ON=2+4=6，
∴M的坐標(biāo)為（4，6 ）；
②如圖2

當(dāng)AM⊥BA，且AM=BA時，過M作MN⊥x軸于N，△BOA≌△ANM（AAS），同理求出M的坐標(biāo)為（6，2）；
③如圖4，

當(dāng)AM⊥BM，且AM=BM時，過M作MN⊥X軸于N，MH⊥Y軸于H，則△BHM≌△AMN，
∴MN=MH，
設(shè)M（x，x），
由勾股定理得，
（x-2）²+x²=（4-x）²+x²，
解得，x=3；
∴M點的坐標(biāo)為（3，3）
綜上所知M點的坐標(biāo)為（4，6）（6，2）（3，3）；


（3）將y=kx-2k與y=

k

2

x-

k

2

聯(lián)立求出M的坐標(biāo)為（3，k），
由條件可求得N的坐標(biāo)為（-1，-k），C的坐標(biāo)為（1，0），
作CG⊥x軸于G點，MH⊥x軸于H點，
可證△NGC≌△MHC，得NC=MC．

點評：本題主要考查對一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，等腰直角三角形性質(zhì)，用待定系數(shù)法求正比例函數(shù)的解析式，全等三角形的性質(zhì)和判定，二次根式的性質(zhì)等知識點的理解和掌握，綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理和計算是解此題的關(guān)鍵．