Question

如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)F在線段CD上運(yùn)動(dòng)，AE平分∠BAF交BC邊于點(diǎn)E．
（1）過(guò)A作AG⊥AF，交CB延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，求證：①AG=AF，②AF=DF+BE；
（2）延長(zhǎng)AF交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，若AE=EH，求此時(shí)DF的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）①利用正方形的性質(zhì)和已知條件可證明：△ABG≌△ADF，由全等三角形的性質(zhì)即可得到AG=AF；②由①可知：∠GAB=∠DAF，GB=DF，所以∠GAE=∠DAE，在正方形ABCD中，因?yàn)锳D∥BC，所以∠DAE=∠BEA，進(jìn)而可得∠GAE=∠BEA，所以AG=GE，所以AF=GB+BE問(wèn)題得證；
（2）若AE=EH，則可證明出∠DAF=∠FAE=∠BAE=

1

3

×90°=30°，利用30°角的正切值即可求出DF的長(zhǎng)．

解答：解：（1）①∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=DA，∠ABG=∠D=∠BAD=90°，
∴∠DAF+∠BAF=90°，
又∵AG⊥AF，
∴∠GAB+∠BAF=90°，
∴∠GAB=∠DAF，
在△ABG和△ADF中，

∠ABG=∠D=90° AB=AD ∠GAB=∠DAF

，
∴△ABG≌△ADF（ASA），
∴AG=AF；                    
②∵AE平分∠BAF，
∴∠BAE=∠FAE，
∵△ABG≌△ADF，
∴∠GAB=∠DAF，GB=DF，
∴∠GAE=∠DAE，
在正方形ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAE=∠BEA，
∴∠GAE=∠BEA，
∴AG=GE，
∵AG=AF，
∴GE=AF，
∴AF=GB+BE，
∴AF=DF+BE；
（2）∵AD∥BC，
∴∠H=∠DAF，
∵AE=EH，
∴∠H=∠FAE，
∵∠BAE=∠FAE，
∴∠DAF=∠FAE=∠BAE=

1

3

×90°=30°，
在Rt△ADF中，tan∠DAF=

DF

AD

，
即tan30°=

DF

1

=

3

3

，
∴DF=

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，題目的綜合性很強(qiáng)，難度也不小，解答（2）中時(shí)求出∠DAF=∠FAE=∠BAE=

1

3

×90°=30°，是解題的關(guān)鍵．