Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點A（0，2），直線OP位于一、三象限，∠AOP=45°（如圖1），設(shè)點A關(guān)于直線OP的對稱點為B．
（1）寫出點B的坐標(biāo)；
（2）過原點O的直線l從OP的位置開始，繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)．
①如圖1，當(dāng)直線l順時針旋轉(zhuǎn)10°到l₁的位置時，點A關(guān)于直線l₁的對稱點為C，則∠BOC的度數(shù)是______，線段OC的長為______；
②如圖2，當(dāng)直線l順時針旋轉(zhuǎn)55°到l₂的位置時，點A關(guān)于直線l₂的對稱點為D，則∠BOD的度數(shù)是______；
③直線l順時針旋轉(zhuǎn)n°（0＜n≤90），在這個運動過程中，點A關(guān)于直線l的對稱點所經(jīng)過的路徑長為______（用含n的代數(shù)式表示）．

Answer 1

（1）解：如圖
A關(guān)于直線OP的對稱點正好落在x軸上，
∵根據(jù)軸對稱性質(zhì)∴得出OA=OB=2，
∴B點的坐標(biāo)是（2，0）；

（2）解：
①如圖1，過A作AZ⊥直線l₁于Z，延長AZ到C，使AZ=ZC，則C為A關(guān)于直線l₁的對稱點，
∵根據(jù)軸對稱性質(zhì)得出OA=OC=2，
∴∠AOZ=∠COZ=45°+10°=55°，
∴∠BOC=55°+55°-90°=20°，
故答案為：20°，2；

②解：如圖2，過A作AM⊥直線l₂于M，延長AM到D，使AM=MD，則D為A關(guān)于直線l₂的對稱點，
∵根據(jù)軸對稱性質(zhì)得出OA=OD，
∴∠AOM=∠DOM=180°-（45°+55°）=80°，
80°+80°-90°=70°，
∴∠BOD=180°-70°=110°，
故答案為：110°；

③解：直線l順時針旋轉(zhuǎn)n°（0＜n≤90），在這個運動過程中，點A關(guān)于直線l的對稱點所經(jīng)過的路徑為以O(shè)為圓心，以2為半徑的弧BQ（Q為A關(guān)于旋轉(zhuǎn)n°后直線l₁的對稱點），
圓心角∠BOQ=2（45°+n°）-90°=2n°，
由弧長公式得：=，
故答案為：．
分析：（1）根據(jù)題意畫出圖形，根據(jù)圖形和A的坐標(biāo)即可求出答案；
（2）①過A作AZ⊥直線l₁于Z，延長AZ到C，使AZ=ZC，則C為A關(guān)于直線l₁的對稱點，根據(jù)軸對稱性質(zhì)求出∠AOC和得出OA=OC，推出∠BOC=2∠AOZ-90°，即可得出答案；②過A作AM⊥直線l₁于M，延長AM到D，使AM=MD，則D為A關(guān)于直線l₁的對稱點，求出∠AOD，即可求出∠BOD；
（3）根據(jù)（2）中結(jié)果得出規(guī)律：當(dāng)旋轉(zhuǎn)n°時，∠BOM=2n°，根據(jù)弧長公式求出即可．
點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，軸對稱性質(zhì)，弧長公式，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)等知識點，此題難度偏大，對學(xué)生提出較高的要求．