Question

如圖所示，邊長為1的正方形OABC的頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上，將正方形OABC繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)30°，使點(diǎn)A落在拋物線y=ax²（a＜0）的圖象上．
（1）求拋物線y=ax²的函數(shù)關(guān)系式；
（2）正方形OABC繼續(xù)按順時針旋轉(zhuǎn)多少度時，點(diǎn)A再次落在拋物線y=ax²的圖象上并求這個點(diǎn)的坐標(biāo)．
（參考數(shù)據(jù)：sin30°=

1

2

，cos30°=

3

2

，tan30°=

3

3

．）

Answer 1

分析：（1）由于OA順時針旋轉(zhuǎn)30°后A點(diǎn)落在拋物線上，設(shè)此時的A點(diǎn)為A₁，過A₁作A₁⊥x軸于M，那么可根據(jù)正方形的邊長和∠A₁OA的度數(shù)求出A₁M和OM的長，即可得出A₁的坐標(biāo)，然后根據(jù)A₁的坐標(biāo)即可求出拋物線的解析式．
（2）根據(jù)拋物線的對稱性即可得出要經(jīng)過120°點(diǎn)A才會再落到拋物線的圖象上．且此點(diǎn)與A1關(guān)于y軸對稱，即坐標(biāo)為（-

3

2

，-

1

2

）．

解答：解：（1）設(shè)旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)A落在拋物線上點(diǎn)A₁處，OA₁=OA=1，
過A₁作A₁M⊥x軸于M，根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知：∠A₁OM=30°，
則OM=OA₁cos30°=

3

2

，A₁M=OA₁sin30°=

1

2

，
所以A₁（

3

2

，-

1

2

）．
由A₁在y=ax²上，代入拋物線解析式得：-

1

2

=a（

3

2

）²
解得a=-

2

3

，
∴y=-

2

3

x²

（2）由拋物線關(guān)于y軸對稱，再次旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)A落在拋物線點(diǎn)A₂處，點(diǎn)A₂與點(diǎn)A₁關(guān)于y軸對稱，
因此再次旋轉(zhuǎn)120°，點(diǎn)A₂的坐標(biāo)為（-

3

2

，-

1

2

）．

點(diǎn)評：本題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)變換、二次函數(shù)的確定、二次函數(shù)的性質(zhì)等知識點(diǎn)．