Question

已知二次函數(shù)y=-9x²-6ax-a²+2a；
（1）當(dāng)此拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且對(duì)稱軸在y軸左側(cè)．
①求此二次函數(shù)關(guān)系式；
②設(shè)此拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A，頂點(diǎn)為P，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．現(xiàn)有一直線l：x=m隨著m的變化從點(diǎn)A向點(diǎn)O平行移動(dòng)（與點(diǎn)O不重合），在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，直線l與拋物線交于點(diǎn)Q，求△OPQ的面積S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若二次函數(shù)在-

1

3

≤x≤

1

3

時(shí)有最大值-4，求a的值．

Answer 1

分析：（1）①將（0，0）代入二次函數(shù)解析式，結(jié)合對(duì)稱軸在y軸左側(cè)可得a的值，繼而得出此二次函數(shù)關(guān)系式；
②求出拋物線的對(duì)稱軸，需要分兩段討論面積S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，①當(dāng)-

4

3

≤m≤-

2

3

時(shí)，②當(dāng)-

2

3

≤m＜0時(shí)，分別畫出圖形，可表示出S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式．
（2）先確定拋物線的對(duì)稱軸，分三種情況討論，①當(dāng)-

1

3

≤-

a

3

≤

1

3

時(shí)，②當(dāng)-

a

3

≤-

1

3

時(shí)，③當(dāng)-

a

3

≥

1

3

時(shí)，分別求出函數(shù)的最大值，再由二次函數(shù)在-

1

3

≤x≤

1

3

時(shí)有最大值-4，可作出取舍．

解答：解：（1）①∵y=-9x²-6ax-a²+2a經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，
∴0=-a²+2a，
解得：a₁=0，a₂=2，
又∵拋物線的對(duì)稱軸為x=-

a

3

，且對(duì)稱軸在y軸左側(cè)，
∴a=2，
∴y=-9x²-12x．
②當(dāng)-

4

3

≤m≤-

2

3

時(shí)，QM=-9m²-12m，OM=-m，OF=

2

3

，PF=4，
S_△OPQ=S_梯形QMFP+S_△OPF-S_△OQM=3m²+2m； 
當(dāng)-

2

3

≤m＜0時(shí)，QN=-9m²-12m，F(xiàn)N=

2

3

+m，PF=4，
S_△OPQ'=S_梯形PFNQ'+S_△ONQ'-S_△OPF=-3m²-2m；

（2）對(duì)稱軸x=-

a

3

，
①當(dāng)-

1

3

≤-

a

3

≤

1

3

時(shí)，則-1≤a≤1，y_最大=2a=-4，a=-2，不成立；
②當(dāng)-

a

3

≤-

1

3

時(shí)，則a≥1，當(dāng)-

1

3

≤x≤

1

3

時(shí)，y隨x的增大而減小，
當(dāng)x=-

1

3

，y_最大=-a²+4a-1=-4，a=2+

7

，而a=2-

7

舍去；
③當(dāng)-

a

3

≥

1

3

時(shí)，則a≤-1，當(dāng)-

1

3

≤x≤

1

3

時(shí)，y隨x的增大而增大，
當(dāng)x=

1

3

，y最大=-a²-1=-4，a=-

3

，而a=

3

舍去
所以a=2+

7

或a=-

3

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合，涉及了拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，三角形的面積，解答本題的關(guān)鍵是分類討論思想及數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，難度較大．