Question

如圖，已知半圓O的直徑AB=10，⊙O₁與半圓O內切干點C，與AB相切干點D，
（1）求證：CD平分∠ACB；
（2）若AC：CB=1：3，求△CDB的面積S_△CDB；
（3）設AC：CB=x（x＞0），⊙O₁的半徑為y，請用含x的代數式表示y．

Answer 1

（1）證明：過點C作兩圓外公切線MN；
∵AB與⊙O₁相切于點D，
∴∠MCD=∠ADC，∠MCA=∠ABC．
∵∠MCD=∠MCA+∠ACD，
∠ADC=∠ABC+∠BCD，
∴∠ACD=∠BCD，即CD平分∠ACB．

（2）解：∵AB是半圓O的直徑，
∴∠ACB=90°，AC²+CB²=AB²，即AC²+CB²=100
已知AC：CB=1：3，
解得AC=，CB=3；
S_△ACB==

∴S_△CDB=．

（3）解：已知AC：CB=x，AC²+CB²=100解得
AC=，CB=，
過點C作CE⊥AB交AB于點E，S_△ABC=，
解得CE=（x＞0）．
連接OO₁并延長，則必過切點C，連O₁D，則O₁D⊥AB，
∴CE∥O₁D，
∴．
y=（x＞0）．
分析：（1）過點C作兩圓外公切線MN，由角之間的等量關系，證明∠ACD=∠BCD，
（2）在Rt△ABC中，解得AC、BC的長，求出三角形面積，
（3）連接OO₁并延長，則必過切點C，連O₁D，求出AC、BC，由CE∥O₁D，列出x、y的關系式．
點評：本題主要考查兩圓相切的性質，還考查的圓周角定理等知識點．